Esercizio sui compatti e localmente connessi

[squalllionheart]

Sia X compatto e localmente connesso. Si dimostri che le sue componenti conesse sono in numero finito.
Se X compatto allora esiste un ricoprimento finito di aperti che lo ricopre, localmente connesso significa che per ogni aperto contentente x esiste un aperto connesso che contiene x. Ora se $C_i$ sono le componenti connesse, queste sono in numero finito dato che ogni componente connessa è formata da un intervallo massimale connesso, ma ogni punto $x in C_i$ è contenuto in un aperto connesso, ma X compatto, dunque ogni aperto connesso sarà ricoperto da un numero finito di aperti, cosi come ogni componente, dunque se gli aperti che ricoprono $C_i$ sono in numero finito anche le $C_i$ sono in numero finito

[Fioravante Patrone1]

Vuoi che ti correggiamo l'italiano?

Che ne diresti di scrivere esplicitamente se quella che hai scritto in quasi-italiano è una tua proposta di dimostrazione dell'enunciato che si trova nella prima riga?

O dobbiamo trasformarci in esegeti del tuo pensiero?

[squalllionheart]

Scusa.... hai ragione non ho messo un intestazione

[vict85]

Le componenti connesse sono tra loro disgiunte. Se elimini uno di queste componenti l'unione di tutte le altre non ricopre più $X$ e quindi sono un ricoprimento "minimale" di $X$. Non essendo quindi riducibile deve essere finito altrimenti $X$ non sarebbe compatto...

[squalllionheart]

cosi fila MOLTO meglio

[Fioravante Patrone1]

Sarebbe il caso di osservare che le componenti connesse sono aperte.
Chi lo garantisce?

[vict85]

"Fioravante Patrone":Sarebbe il caso di osservare che le componenti connesse sono aperte.
Chi lo garantisce?

Hai ragione, una componente connessa non è necessariamente aperta. L'insieme di Cantor è un insieme compatto con infinite componenti connesse. Ma non è localmente connesso...
Ogni componente connessa è aperta in uno spazio localmente connesso e questo conclude la dimostrazione.