Esercizio sui cambianeti di base
Salve a tutti vorrei proporvi questo esercizio :
Sia f una funzione lineare che da $R^3$ va ad $R^3$ e sia $A$ la sua matrice associata rispetto la base $B = (\vec b_1, \vec b_2, vec b_3)$.
$\vec b_1 = (1,1,1);$
$\vec b_2 (0,1,1) ;$
$\vec b_3 (0,-1,-1);$
$A=((1,0,1),(2,-1,1),(3,-2,1))$
Trovare la matrice associata delle funzione rispetto la base canonica senza utilizzare le matrici associate.
Allora io so che le colonne di A sono le coordinate delle immagini ,rispetto la base B, di $vec b_1, \vec b_2, vec b_3$
Allora posso trovarmi le immagini rispetto la base $B$ :
$f(\vec b_1) = 1*vec b_1+2*vec b_2+3*vec b_3 = 1,0,6);$
$f(\vec b_2) = 0*vec b_1-1*vec b_2-2*vec b_3 =(0,1,-3);$
$f(\vec b_3) = 1*vec b_1+1*vec b_2+1*\vec b_3 = (1,1,3);$
adesso come si va avanti?
io avrei fatto cosi $A' * X' = Y'$
dove $A'$ è la matrice associata alla funzione rispetto la base canonica;
$X'$ sono le coordinate di un vettore rispetto rispetto la base canonica;
$Y'$ sono le coordinate dell'immagine del vettore rispetto la base canonica;
io penso che si fa cosi :
$A' * ((1),(0),(0)) = ((1),(0),(6))$
$A' * ((0),(1),(0)) = ((0),(1),(-3))$
$A' * ((0),(0),(1)) = ((1),(1),(3))$
ma i risultati non mi escono...suggerimenti?
Sia f una funzione lineare che da $R^3$ va ad $R^3$ e sia $A$ la sua matrice associata rispetto la base $B = (\vec b_1, \vec b_2, vec b_3)$.
$\vec b_1 = (1,1,1);$
$\vec b_2 (0,1,1) ;$
$\vec b_3 (0,-1,-1);$
$A=((1,0,1),(2,-1,1),(3,-2,1))$
Trovare la matrice associata delle funzione rispetto la base canonica senza utilizzare le matrici associate.
Allora io so che le colonne di A sono le coordinate delle immagini ,rispetto la base B, di $vec b_1, \vec b_2, vec b_3$
Allora posso trovarmi le immagini rispetto la base $B$ :
$f(\vec b_1) = 1*vec b_1+2*vec b_2+3*vec b_3 = 1,0,6);$
$f(\vec b_2) = 0*vec b_1-1*vec b_2-2*vec b_3 =(0,1,-3);$
$f(\vec b_3) = 1*vec b_1+1*vec b_2+1*\vec b_3 = (1,1,3);$
adesso come si va avanti?
io avrei fatto cosi $A' * X' = Y'$
dove $A'$ è la matrice associata alla funzione rispetto la base canonica;
$X'$ sono le coordinate di un vettore rispetto rispetto la base canonica;
$Y'$ sono le coordinate dell'immagine del vettore rispetto la base canonica;
io penso che si fa cosi :
$A' * ((1),(0),(0)) = ((1),(0),(6))$
$A' * ((0),(1),(0)) = ((0),(1),(-3))$
$A' * ((0),(0),(1)) = ((1),(1),(3))$
ma i risultati non mi escono...suggerimenti?
Risposte
Un metodo potrebbe essere quello di esprimere la base canonica nella base B e trovare quindi le immagini della base canonica attraverso la tua mappa.. Ma non so se è questa la soluzione che deve essere evitata in base alla frase "senza utilizzare le matrici associate"
ok ci provo ma perché il mio ragionamento non funziona? e cosa intendi per mappa?
Il termine mappa viene normalmente usato per indicare una morfismo, una funzione di un tipo importante per la teoria all'interno del quale si sta lavorando. Non è un termine molto preciso insomma, ma si usa per non ripetere in continuazione altri termini. In questo contesto mappa = funzione lineare. In altri contesti potrebbe essere una funzione continua o differenziabile o anche qualcosa di più generale di una funzione.
La prima parte del ragionamento era in effetti corretto. Hai infatti ragione quando dici che le colonne della tua matrice sono le immagini della base B nella nuova base di destinazione. Nel secondo passaggio stai poi calcolando la moltiplicazione \(B\,A\) dove \(B\) è la matrice le cui colonne sono uguali ai vettori della base \(B\). Ma non è questo l'ordine corretto per ottenere quello che desideri. La matrice \(A\) manda infatti la base \(B\) nella base \(C\) e la matrice \(B\) manda invece la base \(B\) nella base canonica. Nel fare il tuo prodotto, le basi non coincidono. La trasformazione che desideri ottenere è quella che manda la base canonica nella base \(C\). Per farlo devi prendere la matrice \(B\), invertirla, e quindi moltiplicare a sinistra per la matrice \(A\). Cioè \( A\,B^{-1}. \)
La prima parte del ragionamento era in effetti corretto. Hai infatti ragione quando dici che le colonne della tua matrice sono le immagini della base B nella nuova base di destinazione. Nel secondo passaggio stai poi calcolando la moltiplicazione \(B\,A\) dove \(B\) è la matrice le cui colonne sono uguali ai vettori della base \(B\). Ma non è questo l'ordine corretto per ottenere quello che desideri. La matrice \(A\) manda infatti la base \(B\) nella base \(C\) e la matrice \(B\) manda invece la base \(B\) nella base canonica. Nel fare il tuo prodotto, le basi non coincidono. La trasformazione che desideri ottenere è quella che manda la base canonica nella base \(C\). Per farlo devi prendere la matrice \(B\), invertirla, e quindi moltiplicare a sinistra per la matrice \(A\). Cioè \( A\,B^{-1}. \)
ok mi è chiaro grazie 
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