Esercizio sugli spazi vettoriali
Ciao scusate ho un dubbio su questo esercizio chiedeva: Nello spazio vettoriale \(\mathbb{R}^4\) si consideri i vettori \(v_1 = (1, 2, 1, 2)\), \(v_2 = (3, 0, -1, 0)\), \(v_3 = (0, 1, 0, 1)\), \(v_4 = (0, 0, 0, 3)\).
Sia \(F: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4\) l'operatore lineare definito ponendo \(F(v_1) = 3v_1 + 2v_2\), \(F(v_2) = -\frac{1}{2}v_2 + 5v_2\), \(F(v_3) = v_3\), \(F(v_4) = v_4\).
a) Calcolare la matrice associata a \(F\) rispetto alla base canonica di \(\mathbb{R}^4\).
b) Verificare se \(F\) è diagonalizzabile.
c) Dato \(U\) il sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^4\) generato dai vettori \(v_1, v_2, v_3, v_4\). Verificare che risulta \(\mathbb{R}^4 = U \oplus F(U)\).
d) Determinare le dimensioni di \(F^{-1}(U)\).
Vorrei avere un check da parte vostra sul punto c) e d), per il punto c) per trovare la base di F(U) sarebbe la base ottenuta dagli autovalori ricavati dal punto b) ?.
Invece per quando riguarda il punto d) come posso calcolare la dimensione di
\(F^{-1}(U)\) ?.
Facendo la dimensione dello spazio di U+ dim Ker f?
Sia \(F: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4\) l'operatore lineare definito ponendo \(F(v_1) = 3v_1 + 2v_2\), \(F(v_2) = -\frac{1}{2}v_2 + 5v_2\), \(F(v_3) = v_3\), \(F(v_4) = v_4\).
a) Calcolare la matrice associata a \(F\) rispetto alla base canonica di \(\mathbb{R}^4\).
b) Verificare se \(F\) è diagonalizzabile.
c) Dato \(U\) il sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^4\) generato dai vettori \(v_1, v_2, v_3, v_4\). Verificare che risulta \(\mathbb{R}^4 = U \oplus F(U)\).
d) Determinare le dimensioni di \(F^{-1}(U)\).
Vorrei avere un check da parte vostra sul punto c) e d), per il punto c) per trovare la base di F(U) sarebbe la base ottenuta dagli autovalori ricavati dal punto b) ?.
Invece per quando riguarda il punto d) come posso calcolare la dimensione di
\(F^{-1}(U)\) ?.
Facendo la dimensione dello spazio di U+ dim Ker f?
Risposte
c) NO!
Chi è un sistema di generatori di \(F(U)\)? In termini più semplici, sicuramente quali vettori "vivono" in tale spazio vettoriale?
Chi è un sistema di generatori di \(F(U)\)? In termini più semplici, sicuramente quali vettori "vivono" in tale spazio vettoriale?
Scusami ma non ho capito bene.
IL sistema di F(U) sono sempre i vettori v1,V2,V3,v4 e tutti quanti sono Lin.indi. perciò formano una base di \(\mathbb{R}^4\).
IL sistema di F(U) sono sempre i vettori v1,V2,V3,v4 e tutti quanti sono Lin.indi. perciò formano una base di \(\mathbb{R}^4\).
No, \(U\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^4\) generato dai quei vettori; non è detto che coincidano!
Cos'è \(F(U)\)?
Cos'è \(F(U)\)?
Sarebbe l'immagine del sottospazio U attraverso una funzione lineare F.
Sì, e in particolare quali sono dei vettori in \(F(U)\)?
Quindi sarebbero i vettori dall' immagine ?.
Prendi un vettore di \(U\) e calcolane l'immagine; se ci fai caso: il testo te ne fornisce quattro in particolare...
Ah okok, grazie mille
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