Esercizio sugli endomorfismi autoaggiunti
Giusto per ammazzare il tempo stavo svolgendo un po' di esercizi di algebra lineare quando mi son imbattuto nel seguente:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita uguale a $n$, munito di un prodotto scalare $\phi$ definito positivo. Sia $f \in End(V)$ tale che $\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}=n$, dove $m\_{\lambda}$ indica la molteplicità algebrica.
Provare che $f$ è autoaggiunto se e solo se $tr(ff^\star)=\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}|\lambda|^2$.
Ora se $f$ è autoaggiunto è ortogonalmente diagonalizzabile per il teorema spettrale dunque scegliendo la base ortogonale per $\phi$ e diagonale per $f$ riesco a mostrare la relazione che mi chiede sopra. Data la relazione $tr(ff^\star)=\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}|\lambda|^2$ ho provato ad andare avanti scegliendo una base ortonormale per $\phi$ e supponendo che $f$, soddisfacente la relazione non fosse autoaggiunta, a questo punto ho cercato di arrivare all'assurdo "scrivendo il prodotto scalare con le matrici" solo che non riesco a concludere, ammesso che la strada intrapresa sia giusta.
C'è qualcosa che non vedo?
Un grazie anticipato a chiunque voglia dare una mano, e buone vacanze a chi leggerà e sarà in riva al mare
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita uguale a $n$, munito di un prodotto scalare $\phi$ definito positivo. Sia $f \in End(V)$ tale che $\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}=n$, dove $m\_{\lambda}$ indica la molteplicità algebrica.
Provare che $f$ è autoaggiunto se e solo se $tr(ff^\star)=\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}|\lambda|^2$.
Ora se $f$ è autoaggiunto è ortogonalmente diagonalizzabile per il teorema spettrale dunque scegliendo la base ortogonale per $\phi$ e diagonale per $f$ riesco a mostrare la relazione che mi chiede sopra. Data la relazione $tr(ff^\star)=\sum_{\lambda \in Sp(f)} m\_{\lambda}|\lambda|^2$ ho provato ad andare avanti scegliendo una base ortonormale per $\phi$ e supponendo che $f$, soddisfacente la relazione non fosse autoaggiunta, a questo punto ho cercato di arrivare all'assurdo "scrivendo il prodotto scalare con le matrici" solo che non riesco a concludere, ammesso che la strada intrapresa sia giusta.
C'è qualcosa che non vedo?
Un grazie anticipato a chiunque voglia dare una mano, e buone vacanze a chi leggerà e sarà in riva al mare
Risposte
Credo di aver risolto così, spero che qualcuno possa darmi conferma. Sia $B$ una base a bandiera per $f$, ortonormalizzo $B$ ottenendo una nuova base $B'$ $\phi$-ortonormale ed a bandiera per $f$.
A questo punto si ha in tale tale base che, detta $T$ la matrice associata ad $f$, la matrice associata a $f^{\star}$ risulta essere $T^t$. Concludiamo con l'osservare che se $f$ non fosse autoaggiunta allora $T$ non è diagonale pertanto:
\[
tr(ff^\star)=tr(TT^t)=tr(T^tT)>\sum_{\lambda \in Sp(f)} m_{\lambda}|\lambda|^2
\]
dove gli $a_{ij}$ sono gli elementi non nulli di $T$. Pertanto necessariamente $T$ deve essere diagonale dunque $f$ è autoaggiunta.
A questo punto si ha in tale tale base che, detta $T$ la matrice associata ad $f$, la matrice associata a $f^{\star}$ risulta essere $T^t$. Concludiamo con l'osservare che se $f$ non fosse autoaggiunta allora $T$ non è diagonale pertanto:
\[
tr(ff^\star)=tr(TT^t)=tr(T^tT)>\sum_{\lambda \in Sp(f)} m_{\lambda}|\lambda|^2
\]
dove gli $a_{ij}$ sono gli elementi non nulli di $T$. Pertanto necessariamente $T$ deve essere diagonale dunque $f$ è autoaggiunta.
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