Esercizio sugli endomorfismi

[-Cattleya-1]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
"Sia $ f:R^3->R^3 $ l’endomorfismo di $ R^3 $ definito nel modo seguente
$ f(x,y,z)= (1/2x +sqrt(3)/2z,y,-sqrt(3)/2x+1/2z) $
1. Provare che $ f $ è un isomorfismo e trovare $ f^-1 $ .
2. Trovare $ f(W) $ dove $ W = {(x, y, z) ∈ R^3: x − y + z = 0}. $ "
Il punto 1 credo di averlo fatto bene. Ho trovato la matrice associata all'endomorfismo, ho trovato il nucleo e poiché $ Kerf={0} $ l'endomorfismo è iniettivo e quindi, essendo appunto un endomorfismo, anche suriettivo; ciò lo rende un isomorfismo.
Poi ho trovato la matrice associata a $ f^-1 $ facendo l'inversa della matrice associata a $ f $ (credo volesse questo l'esercizio).
Il mio problema riguarda il punto 2 poiché non so come procedere.

[solaàl]

Ad \(f\) è associata una matrice (nella tua base preferita); scrivila, fanne il determinante; è diverso da zero; è un isomorfismo.

Poi trova una base per $W$ (un piano in \(\mathbb R^3\) è generato da due vettori, o se vuoi fare prima, \(W\) è l'ortogonale di \(\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right) = \langle w_1,w_2\rangle\)). Ora è sufficiente vedere qual è lo spazio generato dai vettori \(fw_1, fw_2\), o se vuoi fare prima (in realtà non fai prima, è semplicemente un altro modo di dire la stessa cosa), il rango di \(AW\), dove $W$ -con una notazione un po' overloaded, scelta apposta per confonderti le idee- è la matrice $3\times 2$ che ha per colonne i vettori $w_1,w_2$.

[-Cattleya-1]

"solaàl":Ad f è associata una matrice (nella tua base preferita); scrivila, fanne il determinante; è diverso da zero; è un isomorfismo.

Sì, invece di fare questo ho calcolato il nucleo.

"solaàl":Poi trova una base per W (un piano in R3 è generato da due vettori, o se vuoi fare prima, W è l'ortogonale di (1−11)=⟨w1,w2⟩). Ora è sufficiente vedere qual è lo spazio generato dai vettori fw1,fw2, o se vuoi fare prima (in realtà non fai prima, è semplicemente un altro modo di dire la stessa cosa), il rango di AW, dove W -con una notazione un po' overloaded, scelta apposta per confonderti le idee- è la matrice 3×2 che ha per colonne i vettori w1,w2.

Se non è troppo disturbo, potresti farmi vedere a livello di calcoli come devo fare? Perché così non ho ben capito

[-Cattleya-1]

"Sergio":ma vorrei sottolineare un punto: non mi è chiaro il tuo ragionamento; voglio dire che "essendo un endomorfismo è suriettivo" non mi convincerebbe, "essendo un endomorfismo iniettivo è suriettivo" invece sì.

Non ho detto che essendo un endomorfismo è suriettivo, ho detto, dopo aver dimostrato che l'endomorfismo è iniettivo, che è anche suriettivo proprio per il fatto che si tratta di un endomorfismo poiché un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo.

"Sergio":Trovata l'inversa arrivi subito a: f−1(x,y,z)=?.

$ f^-1(x,y,z)=(1/2x-sqrt(3)/2z,y,sqrt(3)/2x+1/2z) $

"Sergio": trovi prima una base di W, poi le immagini per f dei vettori di quella base.

Credo di aver capito. Un po' meno chiaro mi è il fatto della matrice ma proverò a usare questo metodo che mi sembra anche più semplice di quanto pensassi; però non riesco a capire come fare a trovare una base di $ W $ cioè in base a quello che ha detto solaàl ho pensato di usare $ {(1,-1,1),(1,0,1)} $ (per poi farne l'immagine tramite $ f $ ) poiché i due vettori sono linearmente indipendenti ma non so se possa andare bene.
Comunque grazie mille ad entrambi.

[marco2132k]

"solaàl":Ad \(f\) è associata una matrice (nella tua base preferita); scrivila, fanne il determinante; è diverso da zero; è un isomorfismo.

La rref di quella matrice è l'\( 1 \), credo che notare questo faccia perdere meno tempo (il determinante non serve più, dopo).

Scritta la matrice \( \alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f) \) di \( f \) nelle basi canoniche, si può anche fare riduzione di Gauss sulla matrice a blocchi
\[
\left(\alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f) | 1\right) =
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1/2 & 0 & \sqrt 3/2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-\sqrt 3/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right)
\] così, se non si incappa in vettori linearmente dipendenti, si ha subito l'inversa. Dato che \( f \) è iso, poi, (si dimostra subito che) trovare \( f_*(W) \) si riduce a determinare \( \left(f^{-1}\right)^*(W) \); credo sia più veloce per trovare l'equazione cartesiana dell'immagine.

Viene fuori che
\[
\alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f)^{-1} =
\begin{pmatrix}
1/2 & 0 & -\sqrt 3/2\\
0 & 1 & 0\\
\sqrt 3/2 & 0 & 1/\sqrt 3\\
\end{pmatrix}
\] quindi dire chi è \( f_*(W) = (f^{-1})^*(W)\) richiede di trovare i vettori \( \left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right) \) del dominio di \( f \) per cui è \( f^{-1}\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)\in W \). Allora l'immagine di \( W \) è l'insieme
\[
f_*(W) = \left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}:(1 - \sqrt 3/2)x - y + (\sqrt3 / 2 + 1/\sqrt 3)z = 0 \right\}
\]

Puoi anche notare immediatamente che \( \left\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\Bigr),\Bigl(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\Bigr)\right\} \) è una base di \( W \) (buttando numeri a caso nella sua equazione, volendo ottenere due vettori linearmente indipendenti) perché: 1) \( W \) è il nucleo del funzionale \( \phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R \) che mappa \( \left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)\mapsto x - y + z \), e da
\[
\operatorname{rk}\phi = \dim_{\mathbb R}\mathbb R^3 - \operatorname{nullity}\phi
\] dove \( \operatorname{rk}\phi := \dim_{\mathbb R}\operatorname{Im}\phi \) e \( \operatorname{nullity}\phi := \dim_{\mathbb R}\operatorname{Ker}\phi \), hai che necessariamente è \( \dim_{\mathbb R} W = 2 \) (nota che si vede subito che \( \operatorname{rk}\phi = 1 \), perché l'unica altra scelta possibile è \( \operatorname{rk}\phi = 0 \), che è falso); 2) quei vettori che ti ho dato sono linearmente indipendenti. Poi puoi procedere come ti è stato detto. Mi sa che questo è il modo più possibile rapido per p.ti 2) come questo.

[-Cattleya-1]

Grazie mille a tutti e scusate per il tempo che vi ho fatto perdere... Era una cosa facilissima che ho fatto un sacco di volte eppure ogni volta che mi ritrovo un esercizio diverso davanti vado in panico e mi perdo. Mi siete stati di grande aiuto, grazie davvero.

[-Cattleya-1]

Grazie mille per tutto, davvero, è stato prezioso e non solo per l'aiuto che mi ha dato con l'esercizio, a volte una frase sincera e rassicurante vale più di mille soluzioni