Esercizio sugli endomorfismi
Buonasera. Sto avendo problemi a risolvere questo esercizio sulla diagonalizzazione di un endomorfismo, in quanto mi blocco molto prima di arrivare al momento della vera e propria ricerca degli autovalori. L'esercizio in questione è:
Sia f:V->V un endomorfismo con V=R^3
tale che:
$ { ( f(u_1)=u_1-u_2 ),( f(u_2)=u_2-u_3 ),( f(u_3)=-u_1+u_3 ):}$
Sia B'={(1,0,-2),(1,1,1),(0,1,-1)} una base di V.
Scrivere la matrice associata ad f in B', che risulta facilmente essere:
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
Adesso mi chiede di scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica $ B= {e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)}$ .
Io so di poter svolgere questo passaggio in due modi:
1) facendo ricorso alla matrice di passaggio
2) ricavando come agisce f per poi costruire la matrice associata alla base canonica mettendo in colonna le immagini dei vettori e_1, e_2, e_3
Ma ho dubbi sia sul primo metodo che sul secondo.
Per quanto riguarda il primo:
La matrice di passaggio (P) si costruisce scrivendo i vettori della base di arrivo (in questo caso canonica) come combinazione lineare dei vettori della base nota B' e poi posizionando gli scalari utilizzati come colonne di P?
Per quanto riguarda il secondo:
Più che dubbio ho proprio una mancanza...come si fa a ricavare il generico vettore immagine di f partendo dalla base non naturale B'?
Ringrazio tutti in anticipo per le risposte.
Sia f:V->V un endomorfismo con V=R^3
tale che:
$ { ( f(u_1)=u_1-u_2 ),( f(u_2)=u_2-u_3 ),( f(u_3)=-u_1+u_3 ):}$
Sia B'={(1,0,-2),(1,1,1),(0,1,-1)} una base di V.
Scrivere la matrice associata ad f in B', che risulta facilmente essere:
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
Adesso mi chiede di scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica $ B= {e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)}$ .
Io so di poter svolgere questo passaggio in due modi:
1) facendo ricorso alla matrice di passaggio
2) ricavando come agisce f per poi costruire la matrice associata alla base canonica mettendo in colonna le immagini dei vettori e_1, e_2, e_3
Ma ho dubbi sia sul primo metodo che sul secondo.
Per quanto riguarda il primo:
La matrice di passaggio (P) si costruisce scrivendo i vettori della base di arrivo (in questo caso canonica) come combinazione lineare dei vettori della base nota B' e poi posizionando gli scalari utilizzati come colonne di P?
Per quanto riguarda il secondo:
Più che dubbio ho proprio una mancanza...come si fa a ricavare il generico vettore immagine di f partendo dalla base non naturale B'?
Ringrazio tutti in anticipo per le risposte.
Risposte
I metodi che proponi possono essere utilizzati entrambi, dipende dai gusti e dalla convenienza.
Nel primo, la matrice $P$ che effettua il passaggio dalla base $B'$ alla base canonica $B$ è quella che ha per colonne i vettori di $B'$, ovvvimente il passaggio inverso è la sua inversa $P^(-1)$.
A questo punto, se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a $B'$, hai che la matrice associata rispetto alla base canonica è $xi=PAP^(-1)$.
Nel secondo, si tratta di sfruttare la linearità dell'applicazione e il fatto che se i vettori di $B'$ sono una base, allora una loro combinazione opportuna (aka sistemino) deve generare ciascuno dei tre vettori della base canonica. Il resto sono conti.
Per quel che riguarda il tuo esercizio, in linea di massima quello che devi fare se vuoi usare il secondo metodo è: determinare $alpha, beta, gamma$ tali che $e_1=alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3$, allora hai che $f(e_1)=f(alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3)=alpha_1f(u_1)+beta_2f(u_2)+gamma_3f(u_3)$. Iterando tale procedimento per $e_2,e_3$ ottieni la matrice associata rispetto alla base canonica. Tale metodo è vantaggioso qualora gli scalari della combinazione possono essere trovati a "occhio", altrimenti come detto sopra occorre fare un rapido sistemino per ricavarli.
Nel primo, la matrice $P$ che effettua il passaggio dalla base $B'$ alla base canonica $B$ è quella che ha per colonne i vettori di $B'$, ovvvimente il passaggio inverso è la sua inversa $P^(-1)$.
A questo punto, se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a $B'$, hai che la matrice associata rispetto alla base canonica è $xi=PAP^(-1)$.
Nel secondo, si tratta di sfruttare la linearità dell'applicazione e il fatto che se i vettori di $B'$ sono una base, allora una loro combinazione opportuna (aka sistemino) deve generare ciascuno dei tre vettori della base canonica. Il resto sono conti.
Per quel che riguarda il tuo esercizio, in linea di massima quello che devi fare se vuoi usare il secondo metodo è: determinare $alpha, beta, gamma$ tali che $e_1=alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3$, allora hai che $f(e_1)=f(alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3)=alpha_1f(u_1)+beta_2f(u_2)+gamma_3f(u_3)$. Iterando tale procedimento per $e_2,e_3$ ottieni la matrice associata rispetto alla base canonica. Tale metodo è vantaggioso qualora gli scalari della combinazione possono essere trovati a "occhio", altrimenti come detto sopra occorre fare un rapido sistemino per ricavarli.
"feddy":
I metodi che proponi possono essere utilizzati entrambi, dipende dai gusti e dalla convenienza.
Nel primo, la matrice $P$ che effettua il passaggio dalla base $B'$ alla base canonica $B$ è quella che ha per colonne i vettori di $B'$, ovvvimente il passaggio inverso è la sua inversa $P^(-1)$.
A questo punto, se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a $B'$, hai che la matrice associata rispetto alla base canonica è $xi=PAP^(-1)$.
Nel secondo, si tratta di sfruttare la linearità dell'applicazione e il fatto che se i vettori di $B'$ sono una base, allora una loro combinazione opportuna (aka sistemino) deve generare ciascuno dei tre vettori della base canonica. Il resto sono conti.
Per quel che riguarda il tuo esercizio, in linea di massima quello che devi fare se vuoi usare il secondo metodo è: determinare $alpha, beta, gamma$ tali che $e_1=alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3$, allora hai che $f(e_1)=f(alpha_1u_1+beta_2u_2+gamma_3u_3)=alpha_1f(u_1)+beta_2f(u_2)+gamma_3f(u_3)$. Iterando tale procedimento per $e_2,e_3$ ottieni la matrice associata rispetto alla base canonica. Tale metodo è vantaggioso qualora gli scalari della combinazione possono essere trovati a "occhio", altrimenti come detto sopra occorre fare un rapido sistemino per ricavarli.
Ciao. Ti ringrazio per la risposta.
Ho provato a svolgere l'esercizio mediante il "secondo metodo" (per intenderci) e trovo finalmente il risultato che cercavo e adesso ho capito come funziona. Per quanto riguarda il metodo sulle matrici di passaggio, ho ancora qualche dubbio. In effetti non mi trovo con quello da te scritto o forse non l'ho interpretato bene. Dato che devo passare dalla base B' di vettori $u_1, u_2, u_3$ a quella canonica B, la matrice che ha per colonne i vettori della base B' dovrebbe rappresentare $P^-1$. Dunque, facendo l'inversa di $P^-1$ ottengo ovviamente $P$ per poi applicare la formula $A_(f)(B)=P^-1 A_(f)(B') P$.
E' corretto?
E' una questione di notazione:
La matrice che effettua il passaggio da $B$ a $B'$(base canonica) ha sulle colonne i vettori di $B$. Chiamiamola $P$.
La matrice che effettua il passaggio da $B'$(base canonica) a $B$ si nota che è proprio l'inversa di $P$. Perciò $P^(-1)$.
Ora devi ricordarti che le composizioni si leggono da destra a sinistra, pertanto:
Prima vai da $B'$ a $B$ tramite $P^(-1)$.
Poi da $B$ a $B$ tramite $A_f(B)$.
Poi da $B$ a $B'$ tramite $P$.
Pertanto devi eseguire il prodotto $PAP^(-1)$. Prova
La matrice che effettua il passaggio da $B$ a $B'$(base canonica) ha sulle colonne i vettori di $B$. Chiamiamola $P$.
La matrice che effettua il passaggio da $B'$(base canonica) a $B$ si nota che è proprio l'inversa di $P$. Perciò $P^(-1)$.
Ora devi ricordarti che le composizioni si leggono da destra a sinistra, pertanto:
Prima vai da $B'$ a $B$ tramite $P^(-1)$.
Poi da $B$ a $B$ tramite $A_f(B)$.
Poi da $B$ a $B'$ tramite $P$.
Pertanto devi eseguire il prodotto $PAP^(-1)$. Prova
"feddy":
E' una questione di notazione:
La matrice che effettua il passaggio da $B$ a $B'$(base canonica) ha sulle colonne i vettori di $B$. Chiamiamola $P$.
La matrice che effettua il passaggio da $B'$(base canonica) a $B$ si nota che è proprio l'inversa di $P$. Perciò $P^(-1)$.
Ora devi ricordarti che le composizioni si leggono da destra a sinistra, pertanto:
Prima vai da $B'$ a $B$ tramite $P^(-1)$.
Poi da $B$ a $B$ tramite $A_f(B)$.
Poi da $B$ a $B'$ tramite $P$.
Pertanto devi eseguire il prodotto $PAP^(-1)$. Prova
Allora avevo interpretato male il tuo messaggio ed evidentemente ho un po' di lacune su come funziona questo "passaggio".
Adesso ho svolto l'esercizio anche con il metodo della matrice inversa ed ora è tutto ok, mentre prima non mi trovavo avendo considerando la matrice dei vettori di $B'$ come $P$ e non come $P^-1$.
Dimenticando per un attimo l'esercizio e volendo provare a generalizzare, restando nella notazione $A=P^-1 A' P$ si può dire che $P$ rappresenta sempre la matrice che ha sulle colonne gli scalari che servono a rappresentare i vettori della base di arrivo come combinazione lineare di quelli della base da cui si vuole partire?
E quindi, quando si vuole passare dalla base canonica a qualsiasi altra base $B'$, sulle colonne vanno banalmente i vettori della base $B'$.
Quando invece si vuole fare l'inverso, ovvero passare da qualsiasi base $B'$ alla base canonica o addirittura ad una terza base $B''$, occorre scrivere i vettori della base di arrivo come combinazione lineare dei vettori di $B'$. Gli scalari ricavati dal sistema, posti in colonne, formeranno la matrice di passaggio $P$ da cui poi va ricavata l'inversa $P^-1$.
E' giusto?
"Kemix":
E quindi, quando si vuole passare dalla base canonica a qualsiasi altra base $B'$, sulle colonne vanno banalmente i vettori della base $B'$.
Quando invece si vuole fare l'inverso, ovvero passare da qualsiasi base $B'$ alla base canonica o addirittura ad una terza base $B''$, occorre scrivere i vettori della base di arrivo come combinazione lineare dei vettori di $B'$. Gli scalari ricavati dal sistema, posti in colonne, formeranno la matrice di passaggio $P$ da cui poi va ricavata l'inversa $P^-1$.
Il problema è qui.
Non voglio stravolgerti, ma chiamare la base canonica $B'$ mi fa un po' di confusione, per semplificarmi la vita la chiamo $xi$.
Se voglio passare dalla base $B$ generica alla base canonica $xi$, devo scrivere gli elementi della base $B$ come combinazione lineare degli elementi della base canonica. I coefficienti della combinazione sono proprio gli scalari che devi disporre per colonna.
Troverai che banalmente risulta equivalente a porre direttamente i vettori di $B$ per colonna. Chiamo questa matrice $P$.
Se invece voglio effettuare il passaggio dalla base $xi$ alla base $B$, ripetendo il procedimento analogo a prima trovo che tale matrice è proprio $P^(-1)$.
Prova a farlo sulla base di $RR^3$ che ti dava l'esercizio, è un esercizietto semplice.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo