Esercizio sugli autovalori

[carlo0702]

Salve, ho un esercizio riguardo agli autovalori che proprio non riesco a capire come risolverlo.

Vi allego il quesito.

Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve?

Grazie mille!

[carlo0702]

Qualcuno mi può aiutare?

[Sk_Anonymous]

In questi casi si può riportare lo studio di $phi$ a quello di un'applicazione lineare del tipo $f:mathbb{R^6}->mathbb{R^6}$
E' sufficiente sostituire ad ogni matrice il vettore ordinato dei suoi termini al seguente modo :
$f((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((a),(a),(a),(b),(b),(b))$
La matrice M associata ad f è allora :
$M=((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0))$
L'equazione che porta agli autovalori ( e ai corrispondenti autospazi ) è :
$det ((1-lambda,0,0,0,0,0),(1,-lambda,0,0,0,0),(1,0,-lambda,0,0,0),(0,1,0,-lambda,0,0),(0,1,0,0,-lambda,0),(0,1,0,0,0,-lambda))=0$
Ovvero : $ (-lambda)^5(1-lambda)=0 $, da cui $lambda_1=0$ ( di molteplicità 5), $lambda_2=1$ ( semplice)
L'autospazio corrispondente all'autovalore $lambda_1=0$ si ottiene dall'equazione :
$((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0)).((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((0),(0),(0),(0),(0),(0))$
che porta poi al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} a=0\\b=0 \end{cases} \)
Le variabili $a ,b$ sono nulle mentre le rimanenti 4, e cioè $c,d,e,f$, possono variare liberamente in $mathbb{R}$ e
quindi l'autospazio in questione ha dimensione 4. La risposta giusta mi sembra essere la (c) [ non ho considerato le altre ipotesi perché questa mi è parsa la più ragionevole. Tu però puoi fare un utile esercizio esaminando anche le risposte restanti].

[carlo0702]

Ti ringrazio mi sei stato di grande aiuto!!!