Esercizio sugli autovalori
Salve, ho un esercizio riguardo agli autovalori che proprio non riesco a capire come risolverlo.
Vi allego il quesito.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve?
Grazie mille!
Vi allego il quesito.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve?
Grazie mille!

Risposte
Qualcuno mi può aiutare?
In questi casi si può riportare lo studio di $phi$ a quello di un'applicazione lineare del tipo $f:mathbb{R^6}->mathbb{R^6}$
E' sufficiente sostituire ad ogni matrice il vettore ordinato dei suoi termini al seguente modo :
$f((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((a),(a),(a),(b),(b),(b))$
La matrice M associata ad f è allora :
$M=((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0))$
L'equazione che porta agli autovalori ( e ai corrispondenti autospazi ) è :
$det ((1-lambda,0,0,0,0,0),(1,-lambda,0,0,0,0),(1,0,-lambda,0,0,0),(0,1,0,-lambda,0,0),(0,1,0,0,-lambda,0),(0,1,0,0,0,-lambda))=0$
Ovvero : $ (-lambda)^5(1-lambda)=0 $, da cui $lambda_1=0$ ( di molteplicità 5), $lambda_2=1$ ( semplice)
L'autospazio corrispondente all'autovalore $lambda_1=0$ si ottiene dall'equazione :
$((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0)).((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((0),(0),(0),(0),(0),(0))$
che porta poi al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} a=0\\b=0 \end{cases} \)
Le variabili $a ,b$ sono nulle mentre le rimanenti 4, e cioè $c,d,e,f$, possono variare liberamente in $mathbb{R}$ e
quindi l'autospazio in questione ha dimensione 4. La risposta giusta mi sembra essere la (c) [ non ho considerato le altre ipotesi perché questa mi è parsa la più ragionevole. Tu però puoi fare un utile esercizio esaminando anche le risposte restanti].
E' sufficiente sostituire ad ogni matrice il vettore ordinato dei suoi termini al seguente modo :
$f((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((a),(a),(a),(b),(b),(b))$
La matrice M associata ad f è allora :
$M=((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0))$
L'equazione che porta agli autovalori ( e ai corrispondenti autospazi ) è :
$det ((1-lambda,0,0,0,0,0),(1,-lambda,0,0,0,0),(1,0,-lambda,0,0,0),(0,1,0,-lambda,0,0),(0,1,0,0,-lambda,0),(0,1,0,0,0,-lambda))=0$
Ovvero : $ (-lambda)^5(1-lambda)=0 $, da cui $lambda_1=0$ ( di molteplicità 5), $lambda_2=1$ ( semplice)
L'autospazio corrispondente all'autovalore $lambda_1=0$ si ottiene dall'equazione :
$((1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0)).((a),(b),(c),(d),(e),(f))=((0),(0),(0),(0),(0),(0))$
che porta poi al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} a=0\\b=0 \end{cases} \)
Le variabili $a ,b$ sono nulle mentre le rimanenti 4, e cioè $c,d,e,f$, possono variare liberamente in $mathbb{R}$ e
quindi l'autospazio in questione ha dimensione 4. La risposta giusta mi sembra essere la (c) [ non ho considerato le altre ipotesi perché questa mi è parsa la più ragionevole. Tu però puoi fare un utile esercizio esaminando anche le risposte restanti].
Ti ringrazio mi sei stato di grande aiuto!!!
