Esercizio $SU(5)$
Salve a tutti,
Buona festa della Liberazione.
Sto cercando di risolvere questo esercizio tratto da un compito dato dal mio prof.
Sia $A= ((0,1,0,0,0),(-1,0,0,0,0),(0,0,0,-1,0),(0,0,0,0,-1),(0,0,-1,0,0)) in RR^(5,5)$.
1. Esiste $D in SU(5)$ tale che $D^* A D$ sia diagonale?
2. Determinare, se esiste, $C in U(5)$ tale che C^*AC$ sia diagonale.
Per prima cosa mi sono calcolata il polinomio caratteristico della matrice A e ho ottenuto $(T^2+1)(T^3+1)=0$ e trovo come autovalori $+i$,$-i$,$-1$,$(1+3i)/2$,$(1-3i)/2$.
Adesso mi trovo gli autospazi associati a questi autovalori.
Per $i$ ottengo $(x,ix,-t,t,-it)$ che è quindi generato dai vettori $(1,i,0,0,0),(0,0,-1,1,-i)$.
Per $-i$ ottengo $(iy,y,z,iz,-z)$ generato dai vettori $(i,1,0,0,0),(0,0,1,i,-1)$.
Fin qui il ragionamento è giusto?
Adesso nel continuo mi perdo un pò perché ottengo che l'autospazio associato dall'autovalore -1 è generato dalla base $(0,0,1,1,1)$ e a questo punto avrei i 5 vettori che mi dovrebbero far ottenere D ma ancora mi manca da valutare altri 2 autospazi associati agli altri 2 autovalori e, soprattutto, non ho capito se esiste la matrice D che, per essere in $SU(5)$ dovrebbe avere determinante uguale ad 1.
Buona festa della Liberazione.
Sto cercando di risolvere questo esercizio tratto da un compito dato dal mio prof.
Sia $A= ((0,1,0,0,0),(-1,0,0,0,0),(0,0,0,-1,0),(0,0,0,0,-1),(0,0,-1,0,0)) in RR^(5,5)$.
1. Esiste $D in SU(5)$ tale che $D^* A D$ sia diagonale?
2. Determinare, se esiste, $C in U(5)$ tale che C^*AC$ sia diagonale.
Per prima cosa mi sono calcolata il polinomio caratteristico della matrice A e ho ottenuto $(T^2+1)(T^3+1)=0$ e trovo come autovalori $+i$,$-i$,$-1$,$(1+3i)/2$,$(1-3i)/2$.
Adesso mi trovo gli autospazi associati a questi autovalori.
Per $i$ ottengo $(x,ix,-t,t,-it)$ che è quindi generato dai vettori $(1,i,0,0,0),(0,0,-1,1,-i)$.
Per $-i$ ottengo $(iy,y,z,iz,-z)$ generato dai vettori $(i,1,0,0,0),(0,0,1,i,-1)$.
Fin qui il ragionamento è giusto?
Adesso nel continuo mi perdo un pò perché ottengo che l'autospazio associato dall'autovalore -1 è generato dalla base $(0,0,1,1,1)$ e a questo punto avrei i 5 vettori che mi dovrebbero far ottenere D ma ancora mi manca da valutare altri 2 autospazi associati agli altri 2 autovalori e, soprattutto, non ho capito se esiste la matrice D che, per essere in $SU(5)$ dovrebbe avere determinante uguale ad 1.
Risposte
Non solo determinante uguale a 1, deve pure essere *unitaria*, ovvero, verificare \(D^\star D =I\). Costruisci una matrice diagonalizzante \(D\) usando i calcoli che hai già fatto. Se è già in \(SU(5)\) hai finito tutto. Altrimenti bisognerà ragionare.
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