Esercizio su una topologia

[sira2]

Buona sera! Ho un esercizio che mi lascia alcuni dubbi
Sia $tau$ la famiglia di sottoinsiemi di $NN$ data da $O/$, $NN$ e ${1,...n}$ per ogni $n in NN$.
a)stabilire se $(NN,tau)$ è uno spazio topologico compatto e se è uno spazio topologico di Hausdorff;
b) dimostrare che se $(X,tau_X)$ è uno spazio topologico di Hausdorff, allora ogni funzione continua $f:(NN,tau) rarr (X,tau_X)$ è necessariamente costante
a) Per la compattezza, supponiamo di voler scrivere $NN$ come $ NN=uuu_alpha N_k $ , dove con $N_k$ indico gli aperti di $(NN,tau)$. Allora un ricoprimento di $NN$ è un suo sottoinsieme proprio $ rarr $ assurdo, quindi $NN$ non è compatto.
Per dimostrare se è di Hausdorff osserviamo che gli aperti di $(NN,tau)$ si intersecano $ nnn_(k=1)^n N_k != \O/ $. Infatti,siano ad esempio ${1,..k}nn{1,..s}$ due aperti con $k b)Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Allora la controimmagine di ogni aperto di $(X,tau_X)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Siano $A_1 sube X $ e $A_2 sube X$ aperti di $(X,tau_X)$ tali che $A_1 nn A_2=O/$ perchè sono di Hausdorff.La controimmagine $f^-1(A_1)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Analogamente $f^-1(A_2)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Ma allora $A_1 nn A_2= O/$ e $f^-1(A_1) nnf^-1(A_2)!=O/ rarr $ contraddizione, quindi $f$ è costante

[sira2]

Grazie per la risposta!
a) ok, quindi preciso che $ uuu_k ^n N_ k $ dove $ N_k $ sono gli aperti di $ tau $ contenuti in $ NN $
Non è $ T_1 $ perché gli aperti sono della forma ${1,...k} $ , ${1,...s} $ con $ k b) ok, ho capito

[sira2]

Grazie mille

[Bremen000]

Buonasera, sono contento che sira sia soddisfatta ma non vorrei che ci fosse un po' di confusione. A rischio di essere (inutilmente) rompiscatole (nel qual caso mi scuso fin da ora):

"sira":[...]
a) Per la compattezza, supponiamo di voler scrivere $NN$ come $ NN=uuu_alpha N_k $ , dove con $N_k$ indico gli aperti di $(NN,tau)$. Allora un ricoprimento di $NN$ è un suo sottoinsieme proprio $ rarr $ assurdo, quindi $NN$ non è compatto. [...]

Ma qua si intende che \( N_k = \{ 1, \dots, k \} \)? Immagino di sì.

E questo non vorrei fosse frainteso

"arnett":[...]
In a) devi specificare che l'insieme degli indici $ \alpha $ su cui fai l'unione è finito (altrimenti potresti ritrovarti tutto $ \mathbb{N} $ e non ci sarebbe nessun assurdo.[...]
[...]

Cioè se volete negare che \( (\mathbb{N}, \tau ) \) sia compatto, dovete trovare un ricoprimento aperto di \( \mathbb{N} \) che non ammetta sottoricoprimenti finiti. E non mi pare che sia stato fatto, o meglio non esplicitamente. Io immagino (come sarebbe giusto) che sira volesse dire

Prendiamo il ricoprimento aperto di \( \mathbb{N} \) dato da \( \{ N_k \mid k \in \mathbb{N} \} \). Se ne esistesse un sottoricoprimento finito dovrebbe essere \( \mathbb{N} = N_{k_1} \cup N_{k_2} \dots \cup N_{k_n} \) per qualche \( k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N} \). Ma questo è assurdo perché si avrebbe \( \mathbb{N} \subset \{ 0, 1, \dots, \max \{k_1, \dots, k_n \} \} \).

Per la seconda parte di a) non è sufficiente dire che l'intersezione degli $N_k$ è non vuota, ma che l'intersezione di tutti gli aperti non vuoti di $\tau$ è non vuota. Insomma manca $\mathbb{N}$ nell'intersezione. Che poi è ovvio che a maggior ragione quell'intersezione non è vuota, però...

[sira2]

Buona sera Bremen000, mi scuso per non averti risposto prima! Non sei affatto rompiscatole, anzi!
Per la tua prima correzione

"Bremen000":Ma qua si intende che Nk={1,…,k}? Immagino di sì.

si, si,intendevo così
per la seconda osservazione

"Bremen000":Cioè se volete negare che (N,τ) sia compatto, dovete trovare un ricoprimento aperto di N che non ammetta sottoricoprimenti finiti. E non mi pare che sia stato fatto, o meglio non esplicitamente. Io immagino (come sarebbe giusto) che sira volesse dire

ho pensato più o meno alla stessa cosa, ma scritta in maniera un pò diversa, e comunque grazie per avermi corretto! (mi evito lo stesso errore se dovesse capitarmi qualcosa del genere di nuovo)

"Bremen000":
Per la seconda parte di a) non è sufficiente dire che l'intersezione degli Nk è non vuota, ma che l'intersezione di tutti gli aperti non vuoti di τ è non vuota

quindi dovrei precisare che $nnn_alpha N_k != O/$, cioè ${1}nn{1,2}nn{1,2,3}nn...{1,2,..n}nn...NN!=O/$ includendo anche $NN$ (pensavo che fosse scontata la cosa per questo non l'avevo scritta)

[Bremen000]

Ciao, si per l'ultima osservazione dovresti scrivere che \( \bigcap \{ A \mid A \in \tau - \{ \emptyset \} \} \neq \emptyset \) perché escludendo un aperto non vuoto (diciamo $A_0$) dall'intersezione potrebbe essere che due punti distinti $x,y$ hanno come intorni aperti disgiunti un certo $x \in A_1$ e $y \in A_0$ e non hai controllato se $A_1 \cap A_0 \ne \emptyset$. Chiaramente in questo caso non è così necessario perché l'aperto che hai escluso dall'intersezione include tutti gli altri, però io l'avrei scritto.

[sira2]

ok, grazie!

[dissonance]

Io pure protesto per come è fatto il punto 1. Se vuoi dimostrare che uno spazio topologico non è compatto, basta produrre un esempio di un ricoprimento aperto che non ha sottoricoprimenti finiti. Da come hai scritto, non capisco, se non con difficoltà, quale sia questo esempio. Se vuoi, riscrivi la soluzione del punto 1, facendo attenzione ad esprimerti bene. Queste cose sono molto importanti.