Esercizio su un sottospazio vettoriale.
Buona sera a tutti, vorrei verificare se ho capito grosso modo come funzionano gli esercizi dei sottospazi vettoriali e ,per verificare, posto un esercizio svolto.
Sia $P={x,y,z)|x^2-2yz=0}$ un sottoinieme di $RR^3$. Si stabilisca se sia un sottospazio vettoriale di $RR^3$, motivando la risposta. Come ho già detto nel post precedente un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e, ovviamente, vi è incluso il vettore nullo. Nel nostro caso abbiamo $x^2-2yz=0$. Tale equazione presenta un numero infinito di soluzioni per ogni $(x,y,z)in(RR)$. Considero allora un'altra terna $x_1,y_1,z_1$ per la quale valga la stessa proprietà. Voglio verificare che tale proprietà vale anche anche per la somma dei vettori per definizione di sottospazio vettoriale. E dunque che $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$. Provando a sostituire dei valori che soddisfino $x^2+2yz=0$ e dei valori che soddisfino $x_1^2+2y_1z_1=0$. Sostituendo i valori in $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$ mi accorgo allora che qui non vale la proprietà! Dunque $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$ non appartiene più al campo! Quindi tale sottoinsieme non è un sottospazio vettoriale. PS: se non sbaglio per quanto concerne l'operazione prodotto sembra sia verificato. Difatti per le proprietà degli spazi vettoriali si ha che $(s*x)^2-2(s*y)(s*z)=0$, $s^2(x^2-2yz)=0$.
Grazie a tutti.
Sia $P={x,y,z)|x^2-2yz=0}$ un sottoinieme di $RR^3$. Si stabilisca se sia un sottospazio vettoriale di $RR^3$, motivando la risposta. Come ho già detto nel post precedente un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e, ovviamente, vi è incluso il vettore nullo. Nel nostro caso abbiamo $x^2-2yz=0$. Tale equazione presenta un numero infinito di soluzioni per ogni $(x,y,z)in(RR)$. Considero allora un'altra terna $x_1,y_1,z_1$ per la quale valga la stessa proprietà. Voglio verificare che tale proprietà vale anche anche per la somma dei vettori per definizione di sottospazio vettoriale. E dunque che $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$. Provando a sostituire dei valori che soddisfino $x^2+2yz=0$ e dei valori che soddisfino $x_1^2+2y_1z_1=0$. Sostituendo i valori in $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$ mi accorgo allora che qui non vale la proprietà! Dunque $(x+x_1)^2+2(y+y_1)(z+z_1)=0$ non appartiene più al campo! Quindi tale sottoinsieme non è un sottospazio vettoriale. PS: se non sbaglio per quanto concerne l'operazione prodotto sembra sia verificato. Difatti per le proprietà degli spazi vettoriali si ha che $(s*x)^2-2(s*y)(s*z)=0$, $s^2(x^2-2yz)=0$.
Grazie a tutti.
Risposte
C'è un '\(\displaystyle + \)' (o un '\(\displaystyle - \)') di troppo. Ad ogni modo sì, mi pare tu abbia capito.
Controesempio rapido: \[\displaystyle v= \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad w=\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \] si calcola immediatamente che \(\displaystyle (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 =0 \) e che \(\displaystyle (\sqrt{2})^2 -2 \cdot (-1) \cdot (-1) =0 \), e quindi \(\displaystyle v,w \in P \) mentre \[\displaystyle v+w= \begin{pmatrix} 2 \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \notin P \] perché \(\displaystyle (2 \sqrt{2} ) ^2 \ne 0 \). Quindi \(\displaystyle P \) non è chiuso per la somma.
Controesempio rapido: \[\displaystyle v= \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad w=\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \] si calcola immediatamente che \(\displaystyle (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 =0 \) e che \(\displaystyle (\sqrt{2})^2 -2 \cdot (-1) \cdot (-1) =0 \), e quindi \(\displaystyle v,w \in P \) mentre \[\displaystyle v+w= \begin{pmatrix} 2 \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \notin P \] perché \(\displaystyle (2 \sqrt{2} ) ^2 \ne 0 \). Quindi \(\displaystyle P \) non è chiuso per la somma.
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