Esercizio su un sottoinsieme di $End(\mathbbR^3)$
Salve a tutti,
ho dei problemi con il seguente esercizio:
Sia $H \sub End(\mathbbR^3)$ tale che $H:={f\in End(\mathbbR^3) | f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)}$ con
${e_1,e_2,e_3}$ base canonica di $\mathbb R^3$.
Determinare la dimensione di $H$.
Ecco, il fatto è che .... non so da dove cominciare!
In pratica, mi confonde molto il fatto che si tratta di un insieme di funzioni.
Cioè, normalmente quando ho uno spazio definito da delle equazioni (cartesiane), per calcolarmi la dimensione
mi trovo prima una base.
Qui invece non riesco a "sfruttare" le equazioni che mi vengono date.](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Qualcuno può darmi una mano?
PS: Ma qual'è una base di $End(\mathbbR^3)$?
ho dei problemi con il seguente esercizio:
Sia $H \sub End(\mathbbR^3)$ tale che $H:={f\in End(\mathbbR^3) | f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)}$ con
${e_1,e_2,e_3}$ base canonica di $\mathbb R^3$.
Determinare la dimensione di $H$.
Ecco, il fatto è che .... non so da dove cominciare!
In pratica, mi confonde molto il fatto che si tratta di un insieme di funzioni.
Cioè, normalmente quando ho uno spazio definito da delle equazioni (cartesiane), per calcolarmi la dimensione
mi trovo prima una base.
Qui invece non riesco a "sfruttare" le equazioni che mi vengono date.
Qualcuno può darmi una mano?
PS: Ma qual'è una base di $End(\mathbbR^3)$?
Risposte
Sia $f\in H$.
Allora avrai che $f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)=v$ dove $v$ è un vettore in $RR^3$ con certe componenti $v_1,v_2,v_3$.
Come sarà fatta la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica?
Allora avrai che $f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)=v$ dove $v$ è un vettore in $RR^3$ con certe componenti $v_1,v_2,v_3$.
Come sarà fatta la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica?
"cirasa":
Sia $f\in H$.
Allora avrai che $f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)=v$ dove $v$ è un vettore in $RR^3$ con certe componenti $v_1,v_2,v_3$.
Come sarà fatta la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica?
Utilizzo la notazione $[f(e_1)]_E$ per indicare le componenti di $f(e_1)$ rispetto alla base canonica
$E$.
La matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica è
$M_E(f)= ([f(e_1)]_E [f(e_2)]_E [f(e_3)]_E)=([v]_E [v]_E [v]_E )= ( (
che ha rango 1.
Se ho capito la tua notazione, è giusta la matrice associata a questa $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$.
Il problema è che la dimensione di un dato sottospazio di matrici NON è il rango della generica matrice di tale sottospazio.
Il fatto che la matrice associata alla generica applicazione $f\in H$ sia nella forma
$A_f=((v_1,v_1,v_1),(v_2,v_2,v_2),(v_3,v_3,v_3))$
ti dice che $A_f$ è combinazione lineare di quali matrici?
Quanti parametri liberi ci sono?
Il problema è che la dimensione di un dato sottospazio di matrici NON è il rango della generica matrice di tale sottospazio.
Il fatto che la matrice associata alla generica applicazione $f\in H$ sia nella forma
$A_f=((v_1,v_1,v_1),(v_2,v_2,v_2),(v_3,v_3,v_3))$
ti dice che $A_f$ è combinazione lineare di quali matrici?
Quanti parametri liberi ci sono?
"cirasa":
Se ho capito la tua notazione, è giusta la matrice associata a questa $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$.
Il problema è che la dimensione di un dato sottospazio di matrici NON è il rango della generica matrice di tale sottospazio.
Il fatto che la matrice associata alla generica applicazione $f\in H$ sia nella forma
$A_f=((v_1,v_1,v_1),(v_2,v_2,v_2),(v_3,v_3,v_3))$
ti dice che $A_f$ è combinazione lineare di quali matrici?
Quanti parametri liberi ci sono?
In pratica ho 1 equazione. Quindi 2 parametri liberi. Perciò la dimensione di $H=2$. Giusto?
Siano $f_1,f_2,f_3$ gli endomorfismi di $RR^3$ che hanno $A_1,A_2,A_3$ risp. come matrici associate alla base canonica, dove
$A_1=((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$, $A_2=((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))$, $A_3=((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$
$f_1,f_2,f_3$ sono elementi di $H$ (provalo!) e sono linearmente indipendenti (provalo!)
Prova inoltre che ogni elemento $f$ di $H$ si scrive come combinazione lineare di $f_1,f_2,f_3$.
Quindi $f_1,f_2,f_3$ formano una base di $H$ e dunque la dimensione di $H$ è .....
$A_1=((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$, $A_2=((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))$, $A_3=((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$
$f_1,f_2,f_3$ sono elementi di $H$ (provalo!) e sono linearmente indipendenti (provalo!)
Prova inoltre che ogni elemento $f$ di $H$ si scrive come combinazione lineare di $f_1,f_2,f_3$.
Quindi $f_1,f_2,f_3$ formano una base di $H$ e dunque la dimensione di $H$ è .....
3! Ti ringrazio moltissimo! Ora ho capito. 
(Provvederò immediatamente a verificare le altre parti del tuo utlimo post.
)
(Provvederò immediatamente a verificare le altre parti del tuo utlimo post.
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