Esercizio su un insieme
Buona sera a tutti! Ho un esercizio "facile", ma meglio togliere ogni dubbio chiedendovi qualche parere
Dato $ n in NN $ si consideri il sottospazio $A_n$ di $RR^2$ definito da
$A_n={(x,y) in RR^2 | y=x^(2n-1)}$ e si ponga $X=uuu_(n in NN) A_n$.
a) Stabilire se $X$ è compatto e stabilire se $X$ è connesso
b) Posto $C={(x,y) in RR^2 | y=1}$, stabilire se $XnnC$ è uno spazio topologico compatto
Ho provato a farli così
a) $X$ non è compatto perchè dal dominio di ogni $A_n$ si può osservare che non è nè limitato nè chiuso ( ho usato il teorema di Heine-Borel visto che $(x,y)inRR^2$).
Verifichiamo che $X$ è connesso. $X$ è connesso perchè è connesso per archi. Infatti esiste una funzione continua $alpha: I rarr X$ tale che $alpha (0)=x$ e $alpha(1)=y$; possiamo prendere come esempio $alpha(0)=0$ e $alpha(1)=1$, oppure scrivere l'applicazione $ t rarr{ ( t^(2n-1) se\ t in RR\\{0}),( 0 \se\ t=0 ):} $ (il mio dubbio è proprio qui)
b)$XnnC$ è compatto perchè il punto ${(1,1)}$ (che è l'unico punto appartenente all'intersezione) è di accumulazione, ma è contenuto in $X$, quindi è chiuso
Spero di non aver combinato grossi guai
Dato $ n in NN $ si consideri il sottospazio $A_n$ di $RR^2$ definito da
$A_n={(x,y) in RR^2 | y=x^(2n-1)}$ e si ponga $X=uuu_(n in NN) A_n$.
a) Stabilire se $X$ è compatto e stabilire se $X$ è connesso
b) Posto $C={(x,y) in RR^2 | y=1}$, stabilire se $XnnC$ è uno spazio topologico compatto
Ho provato a farli così
a) $X$ non è compatto perchè dal dominio di ogni $A_n$ si può osservare che non è nè limitato nè chiuso ( ho usato il teorema di Heine-Borel visto che $(x,y)inRR^2$).
Verifichiamo che $X$ è connesso. $X$ è connesso perchè è connesso per archi. Infatti esiste una funzione continua $alpha: I rarr X$ tale che $alpha (0)=x$ e $alpha(1)=y$; possiamo prendere come esempio $alpha(0)=0$ e $alpha(1)=1$, oppure scrivere l'applicazione $ t rarr{ ( t^(2n-1) se\ t in RR\\{0}),( 0 \se\ t=0 ):} $ (il mio dubbio è proprio qui)
b)$XnnC$ è compatto perchè il punto ${(1,1)}$ (che è l'unico punto appartenente all'intersezione) è di accumulazione, ma è contenuto in $X$, quindi è chiuso
Spero di non aver combinato grossi guai
Risposte
La connessione per archi va fatta un po' meglio.
Per il punto b) bastava dire che i singoletti, come tutti gli insiemi finiti sono banalmente compatti perché ogni loro ricoprimento è direttamente finito, quello che hai detto te non ha senso.
Il resto va bene.
Per il punto b) bastava dire che i singoletti, come tutti gli insiemi finiti sono banalmente compatti perché ogni loro ricoprimento è direttamente finito, quello che hai detto te non ha senso.
Il resto va bene.
Grazie per la risposta!
Per fare bene la connessione per archi come posso correggere o eventualmente rifare il primo punto?
Per fare bene la connessione per archi come posso correggere o eventualmente rifare il primo punto?
Puoi fare così: prendo un elemento $(x,y)$ di $X=uuu_{n\inNN}A_n$, quindi per definizione di unione $EEn_0\inNN:(x,y)\inA_(n_0)$. Allora la funzione $\alpha:[0,1]->X$ con $\alpha(t)=((1-t)x,((1-t)x)^(2n_0+1))$ è continua e tale che $\alpha(0)=(0,0)$ e $\alpha(1)=(x,y)$, quindi $(x,y)$ appartiene alla componente connessa per archi di $(0,0)$, da cui per l'arbitrarietà di $(x,y)$ si ha che la componente connessa per archi di $(0,0)$ è tutto $X$, cioè $X$ è connesso per archi.
ok, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo