Esercizio su Trasformazioni Lineari e Matrici associate
Ciao a tutti,
questa volta vorrei proporvi un'esercizio sulle Trasformazioni Lineari e le loro matrici associate.
Abbiamo:
$A=(7/3, -8/3), -> k(A) = (-4, 2)$
$ B=(4, -3), -> k(B) = (-2, 5)$
$ C=(19/3, -14/3), -> k(C) = (-3, 8)$
La traccia richiede:
$a -$ Scrivere la matrice associata a $k$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${k(A),k(B)}$ del codominio;
$b -$ Scrivere la matrice A associata a k rispetto alla basi canoniche ${(1,0),(0,1)}$ del dominio e codomio;
$c -$ Sia $V$ il sottospazio di $RR[x]$ generato dai vettori $x+5$ e $2x^4$ e $T:RR^2 -> V$ l'applicazione lineare che ha A (calcolata al punto ($b$) ) come matrice rappresentativa rispetto alla base canonica del dominio e la base ${x+5,2x^4}$ del codominio.Calcolare $T(2,-1)$.
Da regolamento so'..che dovrei proporre una soluzione o un modo di ragionare..ma non mi e' ben chiaro come associare una matrice...
---------------------------------------
Da quello che leggiamo sulla traccia possiamo capire che ${A,B}$ e' una base e quindi ${C}$ e' combinazione lineare.
Forse per risolvere il punto $b$ si potrebbe fare qualcosa del tipo:
$((1,0)) = \alpha_1A + \beta_1B $
$((0,1)) = \alpha_2A + \beta_2B $
poi una volta trovato $\alpha_1$ e $\alpha_2$ possiamo fare:
$f(e_1) = \alpha_1 k(A) + \beta_1 k(B) = (x,y) $
$f(e_2) = \alpha_2 k(A) + \beta_2 k(B) = (z,t) $
Quindi la matrice associata per alla base canoniche del dominio e codominio sara':
$((x,z),(y,t))$
Ma ti tutto questo non sono sicuro...
Potete aiutarmi a capire e risolvere questo tipo di esercizio??
GRAZIE MILLE a tutti per l'aiuto...
questa volta vorrei proporvi un'esercizio sulle Trasformazioni Lineari e le loro matrici associate.
Abbiamo:
$A=(7/3, -8/3), -> k(A) = (-4, 2)$
$ B=(4, -3), -> k(B) = (-2, 5)$
$ C=(19/3, -14/3), -> k(C) = (-3, 8)$
La traccia richiede:
$a -$ Scrivere la matrice associata a $k$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${k(A),k(B)}$ del codominio;
$b -$ Scrivere la matrice A associata a k rispetto alla basi canoniche ${(1,0),(0,1)}$ del dominio e codomio;
$c -$ Sia $V$ il sottospazio di $RR[x]$ generato dai vettori $x+5$ e $2x^4$ e $T:RR^2 -> V$ l'applicazione lineare che ha A (calcolata al punto ($b$) ) come matrice rappresentativa rispetto alla base canonica del dominio e la base ${x+5,2x^4}$ del codominio.Calcolare $T(2,-1)$.
Da regolamento so'..che dovrei proporre una soluzione o un modo di ragionare..ma non mi e' ben chiaro come associare una matrice...
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Da quello che leggiamo sulla traccia possiamo capire che ${A,B}$ e' una base e quindi ${C}$ e' combinazione lineare.
Forse per risolvere il punto $b$ si potrebbe fare qualcosa del tipo:
$((1,0)) = \alpha_1A + \beta_1B $
$((0,1)) = \alpha_2A + \beta_2B $
poi una volta trovato $\alpha_1$ e $\alpha_2$ possiamo fare:
$f(e_1) = \alpha_1 k(A) + \beta_1 k(B) = (x,y) $
$f(e_2) = \alpha_2 k(A) + \beta_2 k(B) = (z,t) $
Quindi la matrice associata per alla base canoniche del dominio e codominio sara':
$((x,z),(y,t))$
Ma ti tutto questo non sono sicuro...
Potete aiutarmi a capire e risolvere questo tipo di esercizio??
GRAZIE MILLE a tutti per l'aiuto...
Risposte
se ho capito bene l'esercizio... per il punto $ a $ visto che $ k(A)=1k(A)+0k(B) $ e $ k(B)=0k(A)+1k(B) $ , la matrice associata è la matrice identica (ma era logico 
) Per quanto riguarda il punto b secondo me procedi bene... ma il terzo punto non specifica cosa fa l'applicazione T? Qual'è la matrice associata a T? Se sappiamo solo che T esiste mi sembra troppo poco per calcolare T(2,-1)... infine non ho capito a che serve quel punto $ C(19/3,-14/3) $ 
) Per quanto riguarda il punto b secondo me procedi bene... ma il terzo punto non specifica cosa fa l'applicazione T? Qual'è la matrice associata a T? Se sappiamo solo che T esiste mi sembra troppo poco per calcolare T(2,-1)... infine non ho capito a che serve quel punto $ C(19/3,-14/3) $
ciao, grazie per la tua risposta..e scusami se rispondo solo ora
per quanto riguarda il punto $a$ non mi e' chiaro..perche' la traccia dice di calcolare la matrice rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${k(A),k(B)}$ del codominio..e quindi non mi torna come fare
nella tua soluzione usi solo ${k(A),k(B)}$
per il punto $b$ mi conforti dicendo che procedo bene
mentre per il terzo punto (punto $c$ )...scusami ho sbagliato a ricopiare la traccia
la traccia giusta e' :
$c$ - Sia $V$ il sottospazio di $RR[x]$ generato dai vettori $x+5$ e $2x^4$ e $T:RR^2 -> V$ l'applicazione lineare che ha A (calcolata al punto ($b$) ) come matrice rappresentativa rispetto alla base canonica del dominio e la base ${x+5,2x^4}$ del codominio.Calcolare $T(2,-1)$.
Per il punto $C$ penso che sia un dato in piu'...per confondere le idee..boh
Scusatemi ancora..provvedo a cambiare anche la traccia in partenza..
Grazie mille per l'aiuto..!!
per quanto riguarda il punto $a$ non mi e' chiaro..perche' la traccia dice di calcolare la matrice rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${k(A),k(B)}$ del codominio..e quindi non mi torna come fare
nella tua soluzione usi solo ${k(A),k(B)}$
per il punto $b$ mi conforti dicendo che procedo bene
mentre per il terzo punto (punto $c$ )...scusami ho sbagliato a ricopiare la traccia
la traccia giusta e' :
$c$ - Sia $V$ il sottospazio di $RR[x]$ generato dai vettori $x+5$ e $2x^4$ e $T:RR^2 -> V$ l'applicazione lineare che ha A (calcolata al punto ($b$) ) come matrice rappresentativa rispetto alla base canonica del dominio e la base ${x+5,2x^4}$ del codominio.Calcolare $T(2,-1)$.
Per il punto $C$ penso che sia un dato in piu'...per confondere le idee..boh
Scusatemi ancora..provvedo a cambiare anche la traccia in partenza..
Grazie mille per l'aiuto..!!
Per il punto (a) non devi fare altro che esprimere l'immagine mediante k dei vettori A e B nella base {k(A),k(B)}, lo hai sicuramente gia fatto in altri esercizi, cosa ci vedi di diverso? 
E quindi mi quoto
l'assurdità di questo esercizio è che la seconda base è formata dalle immagini di A e B mediante l'applicazione lineare k e quindi non ci sono calcoli da fare xD
Per il punto (c) basta apllicare T al vettore (2,-1) , ovvero devi fare la moltiplicazione righe per colonne $ A((2),(-1)) $ e il vettore 2x1 risultante sono le componenti di T(2,-1) nella base $ {x+5,2x^{4}} $
Ma che razza di eserciziario hai ? xD
E quindi mi quoto"perplesso":
$ k(A)=1k(A)+0k(B) $
$ k(B)=0k(A)+1k(B) $
la matrice associata è la matrice identica
l'assurdità di questo esercizio è che la seconda base è formata dalle immagini di A e B mediante l'applicazione lineare k e quindi non ci sono calcoli da fare xD
Per il punto (c) basta apllicare T al vettore (2,-1) , ovvero devi fare la moltiplicazione righe per colonne $ A((2),(-1)) $ e il vettore 2x1 risultante sono le componenti di T(2,-1) nella base $ {x+5,2x^{4}} $
Per il punto C penso che sia un dato in piu'...per confondere le idee..boh
Ma che razza di eserciziario hai ? xD
Grazie mille per l'aiuto...spero che se avro' altri dubbi mi potrai continuare ad aiutare
cmq a dir la verita' non e' un eserciziario..ma una traccia d'esame
ancora grazie..
ciaooo
cmq a dir la verita' non e' un eserciziario..ma una traccia d'esame
ancora grazie..
ciaooo
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