Esercizio su topologia quoziente
Ciao a tutti!
Mi sono bloccato su un esercizio sulla topologia quoziente, non so come procedere
In $RR^3$, dotato della topologia euclidea, si considerino i dischi:
$D_0 = {(x,y,0) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$ e $D_1 = {(x,y,1) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$
Sulla loro unione disgiunta, sia $~$ la più piccola relazione di equivalenza per la quale $(x,y,0) ~ (x,y,1) AAy > 0$
Stabilire se lo spazio quoziente $X$ è connesso, compatto, di Hausdorff. Qualcuno può darmi una mano? Grazie mille a tutti!
Mi sono bloccato su un esercizio sulla topologia quoziente, non so come procedere
In $RR^3$, dotato della topologia euclidea, si considerino i dischi:
$D_0 = {(x,y,0) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$ e $D_1 = {(x,y,1) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$
Sulla loro unione disgiunta, sia $~$ la più piccola relazione di equivalenza per la quale $(x,y,0) ~ (x,y,1) AAy > 0$
Stabilire se lo spazio quoziente $X$ è connesso, compatto, di Hausdorff. Qualcuno può darmi una mano? Grazie mille a tutti!
Risposte
Inizia dalla seconda: un spazio quoziente di uno spazio compatto è compatto?
Beh diciamo che connessione/compattezza di entrambi i quozienti derivano dalla connessione/compattezza dei dischi e dalla continuità e suriettività della proiezione sul quoziente. Il problema è se il quoziente è o meno di Hausdorff, perché anche se gli spazi di partenza lo sono questo non implica che lo siano anche i quozienti. Qui non so proprio da che parte girarmi
Prendi due punti distinti del quoziente, due intorni distinti di essi, e studia le loro anti-immagini mediante la proiezione canonica.
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