Esercizio su spazio vettoriale matrici quadrate 2x2.

[BRN1]

Ciao a tutti,
ho questo esercizio da sottoporvi:

Sia $Mat(2)$ lo spazio vettoriale delle matrici reali qadrate $2x2$ e si considerino i seguenti sottospazi di $Mat(2)$:

$ U={( ( a , b ),( c , d ) ) |a=b=d} $ , $ V_h= <( ( h , 2 ),( 0 , 2-h ) ),( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) > $

con $h$ parametro reale.

1) Determinare i valori di $h$ per cui si ha $U+V_h=Mat (2)$.
2) Nel caso $h=1$ determinare una base di $ U nn V_1 $ .

il mio svolgimento è questo:

1) Passo dalla base $mat (2)$ alla base canonica.

$ U=( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) ; V_h={( ( h ),( 2 ),( 0 ),( 2-h ) ),( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )} $

Cerco una base di $U$ con la condizione $a=b=d=s$

$ { ( a=s ),( b=s ),( c=c ),( d=s ):} rArr ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) = s ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $

Allora tramite Gauss

$ U+V_h=( ( 1 , 0 , h , 0 ),( 1 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2-h , 0 ) ) rArr ( ( 1 , 0 , h , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2-h , 1 ),( 0 , 0 , 0 , (-2+2h)/(2-h) ) ) $

da questo che conclusioni posso trarre? Io non capisco cosa significhi determinare per quali valori di $h$ per cui si ha $U+V_h=Mat (2)$...

2) Nel caso $h=1$ cerco una base dell'intersezione:

$ a( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) +b ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+c ( ( -1 ),( -2 ),( 0 ),( -1 ) )+d ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) )=0 $

da cui risolvendo il sistema ottengo:

$ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) =d ( ( -1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $

cioè

$ B_(U nn V_1) ={ ( ( -1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )}={( ( -1 , 0 ),( -1 , 1 ) ) } $

Qualcuno mi potrebbe aiutare? grazie!!!

[seragno]

Lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 che dimensione ha?
E di conseguenza $U+V_h$ che dimensione deve avere?

[BRN1]

Beh, la dimensione dello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 ha dimensione 4.
Però,
se $h=2$
si ha che $dim(V_h)=1$ e $dim(U+V_h)=2$
se $h!=2$
vale $dim(V_h)=2$ e $dim(U+V_h)=3$ se $h=1$ altrimenti $dim(U+V_h)=4$

Ma indipendentemente da questo, la base della somma dei due sottospazi non è vuota e i vettori che la compongono posso sempre rappresentarli come una matrice 2x2...
A questo punto credo proprio di non aver capito cosa significhi questa scrittura: $U+V_h=Mat(2)$.

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$U=((a,a),(c,a))=a((1,1),(0,1))+c((0,0),(1,0))$

il sottospazio $U$ ha dimensione $2$ e le seguenti matrici:

$((1,1),(0,1)) ^^ ((0,0),(1,0))$

ne rappresentano una base. Allo stesso modo, per ogni valore di $h$, il sottospazio $V_h$ ha dimensione $2$ e le seguenti matrici:

$((h,2),(0,2-h)) ^^ ((0,1),(0,0))$

ne rappresentano una base. In sintesi, dovendo generare $Mat(2)$, le $4$ matrici di cui sopra devono essere linearmente indipendenti:

$|(1,1,0,1),(0,0,1,0),(h,2,0,2-h),(0,1,0,0)| ne 0 rarr h ne 1$

[BRN1]

Ok, allora $U+V_h=Mat(2)$ significa che $U$ e $V_h$ devono generare $Mat(2)$ e di conseguenza la loro somma deve avere dimensione 4.

Era proprio questo che mi serviva capire. Forse una cosa abbastanza scontata, ma non per me...

Grazie!