Esercizio su spazio vettoriale di matrici

[Trivroach]

Non so se l'ho svolto correttamente, spero di non aver scritto idiozie. Chiedo a voi eventuali correzioni.

Sia $ V=M_2,_3(R) $ lo spazio vettoriale delle matrici 2x3. Considerato $ L $ sottospazio di $ V $ :

$ L={M=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ) ) | -a_11+2a_21-a_23=a_11-a_21=a_12=a_23=0} $

determinare:

1) $ dimL $ ;
2) una base di $ L $ ;
3) un sottospazio supplementare di $ L $ in $ V $.

1) Chiamando $ a_11=x $ e $ a_21=y $ ho risolto il semplice sistema $ { ( -x+2y=0 ),( x-y=0 ):} $ che ha come soluzioni $ x=0 $ e $ y=0 $.

La matrice $ M $ si può scrivere come: $ ( ( 0 , 0 , a_13 ),( 0 , a_22 , 0 ) ) $ il cui rango è 2, dunque $ dimL=2 $.

2) Una base è $ B={( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) } $ .

3) Un sottospazio supplementare è $ W={( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) } $

Grazie mille a chi risponderà

[billyballo2123]

Perfetto!

[Trivroach]

"billyballo2123":Perfetto!

Grazie.

[Trivroach]

Scusate se posto di nuovo, ma vorrei conferma su altri due esercizi simili a questo.

A) Sia $ V=M_2,_3(R) $ lo spazio vettoriale reale delle matrici 2x3. Considerati $ L_1 $ e $ L_2 $ sottospazi di $ V $ :

$ L_1={M_1=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ) )| ( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ) )*( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ),( -1 , 1 ) ) =( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $ e

$ L_2={M_2=( ( a , a , a ),( b , c , b ) ) |a,b,cin R} $ determinare:

1) $ dimL_1 $ e $ dimL_2 $;
2) $ dim(L_1+L_2) $ e $ dim(L_1nn L_2) $ .

1) Svolgendo il prodotto righe per colonne trovo la matrice $ ( ( a_11-a_13 , -a_12+a_13 ),( a_21-a_23 , -a_22+a_23 ) ) $ che è uguale alla matrice nulla. Quindi $ a_11=a_13=a_12 $ e $ a_21=a_23=a_22 $ che vuol dire gli elementi della prima riga sono tutti uguali a un valore come gli elementi della seconda riga (le due righe sono proporzionali). $ r(M_1)=1rArr dimL_1=1 $

Per la matrice di $ L_2 $ non sono sicuro, ho scritto $ dimL_2=2 $ ma solo nel caso in cui $ a!= 0 $ . Dal sottospazio so solo che quei valori appartengono a $ R $ , ma non dice altro.

2) Adesso per trovare la dimensione di $ L_1+L_2 $ ho scritto le due matrici per colonne. Due righe sono uguali. $ dim(L_1+L_2)=2 $ e per la formula di Grassmann $ dim(L_1nn L_2)=1 $

B) Sia $ V=M_2,_2(R) $ lo spazio vettoriale reale delle matrici 2x2. Considerato $ L $ sottospazio di $ V $ :

$ L={M=( ( a , b ),( c , d ) ) |M*( ( 1 , 1 ),( -3 , -3 ) )=( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $ determinare:

1) $ dimL $ ;
2) una base di $ L $ ;
3) un sottospazio supplementare di $ L $ in $ V $.

1) Anche qui ho svolto il prodotto righe per colonne e ho trovato $ ( ( a-3b , a-3b ),( c-3d , c-3d ) ) $ che è uguale alla matrice nulla quindi $ a=3b $ e $ c=3d $ . $ M $ si può riscrivere come $ ( ( 3b , b ),( 3d , d ) ) $ . Adesso dipende: se $ b $ e $ d $ sono proporzionali $ dimL=1 $ altrimenti $ dimL=2 $ .

2) Se consideriamo il secondo caso, un base di $ L $ è $ B={( ( 3 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 ),( 3 , 1 ) ) } $ .

3) Un sottospazio supplementare è $ W={( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) } $ .


Grazie mille ancora .

[billyballo2123]

"Trivroach":
1) Svolgendo il prodotto righe per colonne trovo la matrice $ ( ( a_11-a_13 , -a_12+a_13 ),( a_21-a_23 , -a_22+a_23 ) ) $ che è uguale alla matrice nulla. Quindi $ a_11=a_13=a_12 $ e $ a_21=a_23=a_22 $ che vuol dire gli elementi della prima riga sono tutti uguali a un valore come gli elementi della seconda riga (le due righe sono proporzionali). $ r(M_1)=1rArr dimL_1=1 $

Per la matrice di $ L_2 $ non sono sicuro, ho scritto $ dimL_2=2 $ ma solo nel caso in cui $ a!= 0 $ . Dal sottospazio so solo che quei valori appartengono a $ R $ , ma non dice altro.

Se $a_{11}=a_{12}=a_{13}$ e $a_{21}=a_{22}=a_{23}$, allora $dim L_1=2$, perché fissati i valori di $a_{11}$ e $a_{21}$, tutti gli altri sono automaticamente determinati. Una base di questo spazio è
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\right\}
\]

Allo stesso modo per $L_2$, la dimensione è $3$. Una base di $L_2$ è
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\right\}.
\]
Inoltre dato che $L_1 \subset L_2$, $L_1+L_2=L_2$ e $L_1\cap L_2=L_1$.

[billyballo2123]

"Trivroach":
Adesso dipende: se $ b $ e $ d $ sono proporzionali $ dimL=1 $ altrimenti $ dimL=2 $ .

$b$ e $d$ sono parametri indipendenti. Non ha senso dire che sono proporzionali.
Quindi $dim L=2$. E di conseguenza ciò che hai scritto dopo è giusto.

[Trivroach]

Ora mi è chiaro, grazie. È come se avessi considerato gli elementi di quelle matrici dei parametri variabili, mentre invece sono semplicemente dei valori automaticamente determinati.