Esercizio su spazio vettoriale.
Buonasera, ho un dubbio sul seguente esercizio.
Mi viene chiesto di provare che ogni punto, linea e piano che passi per l'origine in $RR^3$ è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di $RR^3$.
Mi viene proposto un suggerimento cioè, viene specificato che :
ogni insieme di quel tipo ha la forma $X={a*v+b*w\:\ a,b in R}$ con $v,w in RR^3.$
Osservo che il vettore nullo di $RR^3$ è $0_(RR^3)=(0,0,0)^T.$
Ora si dovrebbero far variare opportunamente i vettori di $RR^3$ cioè,
caso punto: prendere $v=w=0_(RR^3)$,
caso linea: qui ricordo che l'equazione parametrica della retta è data, una volta considerato il punto di quota, in particolare l'origine $0_(RR^3)$, si ha che i punti della retta sono descritti dal seguente sistema in tre coordinate
Quindi uno dei due vettori deve essere uguale al vettore nullo $0_(RR^3)$,
caso piano: similmente al caso della linea, il piano passante per l'origine ha equazione $a_1x+a_2y+a_3z=0$ con $a_i in R, i=1,2,3.$
Quindi basta prendere $v,w ne 0_(RR^3)$.
Penso che l'idea del suggerimento sia questa, qualora fosse corretto, mi sorge un dubbio ma l'insieme $X$ non può essere un spazio vettoriale poiché non contiene la condizione di uguaglianza $ a_1x+a_2y+a_3z=0 $ tipo.
Mi viene chiesto di provare che ogni punto, linea e piano che passi per l'origine in $RR^3$ è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di $RR^3$.
Mi viene proposto un suggerimento cioè, viene specificato che :
ogni insieme di quel tipo ha la forma $X={a*v+b*w\:\ a,b in R}$ con $v,w in RR^3.$
Osservo che il vettore nullo di $RR^3$ è $0_(RR^3)=(0,0,0)^T.$
Ora si dovrebbero far variare opportunamente i vettori di $RR^3$ cioè,
caso punto: prendere $v=w=0_(RR^3)$,
caso linea: qui ricordo che l'equazione parametrica della retta è data, una volta considerato il punto di quota, in particolare l'origine $0_(RR^3)$, si ha che i punti della retta sono descritti dal seguente sistema in tre coordinate
$x=at, y=bt, z=ct,$
con $t in R$ e $d(a,b,c) ne 0_(RR^3) $ vettore direzione della retta. Quindi uno dei due vettori deve essere uguale al vettore nullo $0_(RR^3)$,
caso piano: similmente al caso della linea, il piano passante per l'origine ha equazione $a_1x+a_2y+a_3z=0$ con $a_i in R, i=1,2,3.$
Quindi basta prendere $v,w ne 0_(RR^3)$.
Penso che l'idea del suggerimento sia questa, qualora fosse corretto, mi sorge un dubbio ma l'insieme $X$ non può essere un spazio vettoriale poiché non contiene la condizione di uguaglianza $ a_1x+a_2y+a_3z=0 $ tipo.
Risposte
No, l'idea non è quella.
Tutto ciò che serve è 1) provare che un $X$ dato nel suggerimento è un sottospazio e 2) che ognuno degli insiemi di cui nella traccia di può scrivere come $X$ scegliendo opportunamente $v$ e $w$.
Tutto ciò che serve è 1) provare che un $X$ dato nel suggerimento è un sottospazio e 2) che ognuno degli insiemi di cui nella traccia di può scrivere come $X$ scegliendo opportunamente $v$ e $w$.
Ciao gugo82, quello che volevo dire:
caso punto: occorre considerare $v=w=0_(RR^3)$ in tal caso risulta $X={0_(RR^3)}$ quindi, $X$ è costituito dal solo vettore nullo, dove, banalmente è uno spazio vettoriale,
casi linea: tenendo presente l'osservazione fatta nel messaggio precedente risulta, $X={a*v\:\ a in RR}$ con $v in RR^3$, in tal caso devo verificare se sono soddisfatti gli assiomi dello spazio vettoriale ?
Similmente per il caso caso piano.
Nel messaggio precedente effettivamente sono stato poco preciso non ho specificato che una volta scelti opportunatamente i vettori $v,w in RR^3$ occorre verificare che gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale vengono soddisfatti.
caso punto: occorre considerare $v=w=0_(RR^3)$ in tal caso risulta $X={0_(RR^3)}$ quindi, $X$ è costituito dal solo vettore nullo, dove, banalmente è uno spazio vettoriale,
casi linea: tenendo presente l'osservazione fatta nel messaggio precedente risulta, $X={a*v\:\ a in RR}$ con $v in RR^3$, in tal caso devo verificare se sono soddisfatti gli assiomi dello spazio vettoriale ?
Similmente per il caso caso piano.
Nel messaggio precedente effettivamente sono stato poco preciso non ho specificato che una volta scelti opportunatamente i vettori $v,w in RR^3$ occorre verificare che gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale vengono soddisfatti.
Ho detto qualcosa di molto grave ? 
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