Esercizio su spazio proiettivo. la risposta data è corretta?

[prezzemolina86]

ciao tutti!desideravo sapere qual è la risposta esatta di questo esercizio.
sotto ho messo sia la soluzione data dal professore (dalla quale si dovrebbe evincere
qual è la risp esatta) sia il mio ragionamento.

5. Siano G una quadrica di P^3(R) e P un punto di P^3(R) non appartenente
a G. Supposto che per ogni punto Q di G la retta per P e Q intersechi G
esattamente in due punti, individuare l'affermazione sbagliata:
(a) G è priva di punti singolari;
(b) il piano polare di P rispetto a G ha intersezione vuota con G;
(c) non esiste alcun piano per P che intersechi G in una conica degenere;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.

Soluzione:

Se G contenesse un punto singolare V , allora la retta per P e
V intersecherebbe G nel solo punto V (ciò vale per qualunque retta per V
non contenuta in G).

Se il piano polare di P rispetto a G contenesse un punto R appartente a Gamma, allora P si
troverebbe nel piano pigreco tangente a G in R. In tal caso la retta per P ed R
intersecherebbe G solamente in R (ciò vale per qualunque retta di pigreco non
contenuta in G).

Se esistesse un piano pigreco per P che intersechi G secondo una conica degenere,
allora pigreco risulterebbe essere un piano per P tangente a G, e ciò condurrebbe
come prima ad una contraddizione.

Dal mio ragionamento l affermazione falsa è la b.
ecco il mio ragionamento:
P non può essere singolare, perchè un pt è singolare per una quadrica quando
ogni retta del piano proiettivo che passa per questo punto è contenuta nella quadrica
o è tangente alla quadrica in quel punto.quindi la a) risulta vera.

P è necessariamente regolare e ogni punto regolare della quadrica ha il suo iperpiano tangente,
da questo segue che il piano polare rispetto a G non può avere intersezione vuota.quindi la b) è falsa.

quindi necessariamente le altre due risposte dovrebbero essere vere...

innanzitutto non so se il ragionamento fatto è corretto...ma potreste spiegarmi come vedere se
la c) è vera???

GRAZIE!

[Zilpha]

"prezzemolina86":
Soluzione:

Se G contenesse un punto singolare V , allora la retta per P e
V intersecherebbe G nel solo punto V (ciò vale per qualunque retta per V
non contenuta in G).

Se il piano polare di P rispetto a G contenesse un punto R appartente a Gamma, allora P si
troverebbe nel piano pigreco tangente a G in R. In tal caso la retta per P ed R
intersecherebbe G solamente in R (ciò vale per qualunque retta di pigreco non
contenuta in G).

Se esistesse un piano pigreco per P che intersechi G secondo una conica degenere,
allora pigreco risulterebbe essere un piano per P tangente a G, e ciò condurrebbe
come prima ad una contraddizione.

se ho seguito attentamente il tuo ragionamento, ne dedurrei che l'affermazione sbagliata è la d.
infatti, nella parte del tuo ragionamento che ho citato, dimostri (per assurdo) che le affermazioni a, b, c sono vere.
A un certo punto, credo, però, che ti confondi, perchè parli di P come se fosse un punto della quadrica, mentre P non appartiene alla quadrica.