Esercizio su span

[antonio121]

Trovare condizioni su $a, b, c \in R$ affinchè $((a),(b),(c)) \in Span{ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)),((-3),(-11),(7))}$

Ho controllato d'apprima se i vettori all'interno dello span sono linearmente indipendenti (quindi con determinante diverso da zero) e mi viene non sono linearmente indipendenti, e quindi deduco che $Span{ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2))} = Span{ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)),((-3),(-11),(7))}$ e se $((a),(b),(c)) \in Span \rArr Span{ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2))} = Span{ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)),((a),(b),(c))}$ giusto? ma finisce cosi o devo verificare altro?
Grazie a tutti per l'aiuto.

PS: che i vettori $ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)) $ sono linearmente indipendenti lo vedo anche calcolando il rango della matrice $ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)),((-3),(-11),(7))$ che mi viene di rango 2.

[Plepp]

Non penso che l'esercizio chieda questo anche se bisogna ammettere che è una soluzione molto furba

"antonio12":
PS: che i vettori $ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)) $ sono linearmente indipendenti lo vedo anche calcolando il rango della matrice $ ((1),(2),(1)),((2),(6),(-2)),((-3),(-11),(7))$ che mi viene di rango 2.

E' una domanda? in tal caso la risposta è sì

[Sigma11]

Considerando la domanda dell'esercizio, sarebbe meglio completare la risposta scrivendo le equazioni esplicite su a, b e c. Visto che hai verificato che lo Span ha dimensione due ed è generato da \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} 2 \\6 \\-2 \end{pmatrix} \) (che io riscriverei semplicemente come multiplo di \( \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} \) per facilitare le espressioni) allora un generico vettore dello Span si scrive come loro combinazione lineare. Ottieni quindi queste condizioni su a, b, c : \[ \begin{align}a= \lambda + \mu \\ b=2 \lambda + 3 \mu \\ c= \lambda -\mu\end{align} \] al variare di \( \lambda \) e \( \mu \) nei reali, che sono quelle (penso) richieste dal testo ^^.