Esercizio su sottospazio gnerato dall'intersezione
Ciao a tutti, mi sono appena iscritto per chiedervi come si risolve un'esercizio forse banale ma che non riesco a risolvere.
Il testo mi dice che:
U è il sottospazio generaro da u1=(1,1,-1) u2=(2,-1,1)
W è il sottospazio generato da v1=(1,2,-1) v2=(-1,-1,2).
Trovare il sottospazio U intersecato W.
Secondo voi come posso procedere?
Grazie
Mirko
Il testo mi dice che:
U è il sottospazio generaro da u1=(1,1,-1) u2=(2,-1,1)
W è il sottospazio generato da v1=(1,2,-1) v2=(-1,-1,2).
Trovare il sottospazio U intersecato W.
Secondo voi come posso procedere?
Grazie
Mirko
Risposte
Benvenuto.
Ogni elemento di U si scrive come combinazione lineare di u1 e u2. Cioè il generico elemento u di U si scrive come $au_1+bu_2$.
Idem per V. Il generico elemento v di V si scrive come $cv_1+dv_2$.
Allora perchè un elemento stia nell'intersezione devono essere ammissibili entrambe le scritture ovvero deve valere:
$au_1+bu_2=cv_1+dv_2$.
Risolvendo questo sistema otterrai dei generatori dello spazio intersezione.
Ogni elemento di U si scrive come combinazione lineare di u1 e u2. Cioè il generico elemento u di U si scrive come $au_1+bu_2$.
Idem per V. Il generico elemento v di V si scrive come $cv_1+dv_2$.
Allora perchè un elemento stia nell'intersezione devono essere ammissibili entrambe le scritture ovvero deve valere:
$au_1+bu_2=cv_1+dv_2$.
Risolvendo questo sistema otterrai dei generatori dello spazio intersezione.
Allora, innanzi tutto mi scuso per aver sbagliato a scrivere generato nel titolo... 
Ho provato a risolverlo così: (con lo script per le formule non sono riuscito a sciverlo bene)
$U=span(u_1, u_2)= \lambda_1*u_1+\lambda_2*u_2=(\lambda_1+2*\lambda_2,\lambda_1-\lambda_2,\lambda_2-\lambda_1)$
$W=span(v_1,v_2)=\mu_1*v1+\mu_2*v2=(\mu_1-\mu_2,2*\mu_1-\mu_2,2*\mu_2-\mu_1)$
ora, siccome l'intersezione tra i due sottospazi è il sottospazio dei vettori in comune, ovvero quelli che ha sia $U$ che $W$, ho posto gli elementi di $V$ uguali a quelli di $W$ cosi:
$\{(\lambda_1+2*\lambda_2=\mu_1-\mu_2),(\lambda_1-\lambda_2=2*\mu_1-\mu_2),(\lambda_2-\lambda_1=2*\mu_2-\mu_1):}$
ma poi ovviamente mi pianto perchè non riesco a risolvere il sistema.
Cosa mi potete consigliare?
A...la soluzione dovrebbe essere : $UnnW$ è il generato da $(2,3,-3)$.
Grazie mille e scusate se non uso i termini più appropriati ma è il mio primo corso di algebra...
Ciao
Ho provato a risolverlo così: (con lo script per le formule non sono riuscito a sciverlo bene)
$U=span(u_1, u_2)= \lambda_1*u_1+\lambda_2*u_2=(\lambda_1+2*\lambda_2,\lambda_1-\lambda_2,\lambda_2-\lambda_1)$
$W=span(v_1,v_2)=\mu_1*v1+\mu_2*v2=(\mu_1-\mu_2,2*\mu_1-\mu_2,2*\mu_2-\mu_1)$
ora, siccome l'intersezione tra i due sottospazi è il sottospazio dei vettori in comune, ovvero quelli che ha sia $U$ che $W$, ho posto gli elementi di $V$ uguali a quelli di $W$ cosi:
$\{(\lambda_1+2*\lambda_2=\mu_1-\mu_2),(\lambda_1-\lambda_2=2*\mu_1-\mu_2),(\lambda_2-\lambda_1=2*\mu_2-\mu_1):}$
ma poi ovviamente mi pianto perchè non riesco a risolvere il sistema.
Cosa mi potete consigliare?
A...la soluzione dovrebbe essere : $UnnW$ è il generato da $(2,3,-3)$.
Grazie mille e scusate se non uso i termini più appropriati ma è il mio primo corso di algebra...
Ciao
scusa Megan00b, ma ho risposto un attimo dopo che mi avevi risposto tu,
quindi ero sulla strada giusta, il problema sarà che non riesco a risolvere il sistema...ora ci riprovo
quindi ero sulla strada giusta, il problema sarà che non riesco a risolvere il sistema...ora ci riprovo
allora, ho trovato queste soluzioni:
$\{(\lambda_1=-8/3*t),(\lambda_2=t/3),(\mu_1=-t),(\mu_2=t):}$
Ora come posso trasformare queste soluzioni nel vettore che mi dice la soluzione (che ho scritto nel messaggio precedente)?
Grazie
$\{(\lambda_1=-8/3*t),(\lambda_2=t/3),(\mu_1=-t),(\mu_2=t):}$
Ora come posso trasformare queste soluzioni nel vettore che mi dice la soluzione (che ho scritto nel messaggio precedente)?
Grazie
I vettori in comune sono quelli del tipo $( lambda_1+2lambda_2, lambda_1-lambda_2,lambda_2-lambda_1) $ come tu stesso hai detto , con gli opportuni valori di $lambda_1,lambda_2 $.
Sostituendo i valori trovati per $ lambda_1 , lambda_2 $ ottieni che i vettori comuni ai due sottospazi e quindi la loro intersezione è data dai vettori del tipo $ -t(2,3,-3)$ ; il vettore $( 2,3,-3) $ genera quindi i vettori comuni ai due sottospazi.
Sostituendo i valori trovati per $ lambda_1 , lambda_2 $ ottieni che i vettori comuni ai due sottospazi e quindi la loro intersezione è data dai vettori del tipo $ -t(2,3,-3)$ ; il vettore $( 2,3,-3) $ genera quindi i vettori comuni ai due sottospazi.
Calcoli ancora più semplici se consideri i vettori del tipo $(mu_1-mu_2,2mu_1-mu_2,2mu_2-mu_1) $ che giustamente hai imposto essere uguali ai precedenti; ottieni subito il risultato.
Grazie mille!!
Ora ci sono! perfetto
Grazie ancora per l'aiuto e complimenti per il serissimo e competente forum!
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