Esercizio su sottospazio affine e distanze
ciao a tutti 
ho problemi a risolvere alcuni punti di un esercizio di algebra lineare; l'esercizio è il seguente:
S = P + L( A1, A2, A3, A4) ove P=(2, 0, 0, 0, 0) A1=(1, -1, 0, 0, 0) A2=(0, 1, -1, 0, 0) A3=(0, 0, 1, -1, 0)
A4=(0, 0, 0, 1, -1)
1) quanto dista O da S?
2) con Q=(1, 1, 1, 1, 1), calcolate la distanza di Q da S
3) S è lineare?
sapresti spiegarmi come trovare queste distanze? devo trovare prima il complemento ortogonale di S passante per 0?
grazie a tutti in anticipo!!
ho problemi a risolvere alcuni punti di un esercizio di algebra lineare; l'esercizio è il seguente:
S = P + L( A1, A2, A3, A4) ove P=(2, 0, 0, 0, 0) A1=(1, -1, 0, 0, 0) A2=(0, 1, -1, 0, 0) A3=(0, 0, 1, -1, 0)
A4=(0, 0, 0, 1, -1)
1) quanto dista O da S?
2) con Q=(1, 1, 1, 1, 1), calcolate la distanza di Q da S
3) S è lineare?
sapresti spiegarmi come trovare queste distanze? devo trovare prima il complemento ortogonale di S passante per 0?
grazie a tutti in anticipo!!
Risposte
utilizza il "dollaro" per scrivere le formule e poi che vuol dire $L(...)$ ??
L è l'operatore "sottospazio lineare"
$S$ è un iperpiano nello spazio vettoriale reale di dimensione $5$, questo perchè gli $A_i$ sono linearmente indipendenti.
Adesso se non fossi in dimensione $5$ ma in dimensione $3$ sapresti calcolare la distanza di un punto da un piano?
Questa è la stessa cosa.
Adesso se non fossi in dimensione $5$ ma in dimensione $3$ sapresti calcolare la distanza di un punto da un piano?
Questa è la stessa cosa.
ma la traslazione di P=(2 0 0 0 0) cosa mi comporta?
prova a fare un disegno in $RR^3$ e vedi che ti sarà tutto più chiaro!!!!
il complemento ortogonale di S mi torna [tex]S^\perp_0=(0,0,0,0,0)[/tex] ; ne deduco quindi che $d(S,O)=0$ e che $d(S,Q)=\sqrt(5)$ ovvero la norma di Q.
confermate? smentite?
confermate? smentite?
l'ortogonale di $S$ non può essere $0$ perchè $S$ ha dimensione 4 quindi l'ortogonale deve avere dimensione 1.
hai ragione, ho sbagliato a risolvere il sistema; il complemento dovrebbe essere [tex]S_0^\perp=(1, 1, 1, 1, 1)[/tex]
a questo punto mi è rimasto solo un dubbio: come considero la traslazione $P=(2, 0, 0, 0, 0)$ per calcolare le distanze?
a questo punto mi è rimasto solo un dubbio: come considero la traslazione $P=(2, 0, 0, 0, 0)$ per calcolare le distanze?
adesso è corretto. quindi hai che l'equazione cartesiana di $S$ è della forma $x+y+z+t+u+d=0$ dove
$x,y,z,t,u$ sono le coordinale in $RR^5$ mentre $d$ è da determinare, ma lo calcoli facilmente imponendo l'appartenenza di $P$ ed ottieni quindi $x+y+z+t+u-2=0$
e a questo punto calcoli facilmente la distanza di $0$ da $S$.
$x,y,z,t,u$ sono le coordinale in $RR^5$ mentre $d$ è da determinare, ma lo calcoli facilmente imponendo l'appartenenza di $P$ ed ottieni quindi $x+y+z+t+u-2=0$
e a questo punto calcoli facilmente la distanza di $0$ da $S$.
marpions scusa... come hai trovato il complemento ortogonale? servirebbe anche a me.. grazie..
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