Esercizio su sottospazi vettoriali
Ciao ragazzi, il mio professore di algebra in una prova d’esame ha dato il sueguente esercizio, dove veramente non so dove mettere le mani, se potete spiegarmi i vari passaggi per la risoluzione ve ne sarei infinitamente grato.
Nello spazio vettoriale $RR_n[x]$ si consideri il sottoinsieme:
$X={p(x) in RR_n[x] : p'(1)=0}$
dove se $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ allora $p'(x)=a_1+2a_2x+...+na_nx^(n-1)$ è il polinomio derivato di $p(x)$.
1) Stabilire se $X$ è o meno un sottospazio.
2) Per $n=2$, determinare una base $B$ per $U=L[X]$ ed un sottospazio $V$ tale che $RR_2[x]= U oplus V$
Se potete anche dirmi dove poter prendere esercizi del genere per esercitarmi. Grazie mille
Nello spazio vettoriale $RR_n[x]$ si consideri il sottoinsieme:
$X={p(x) in RR_n[x] : p'(1)=0}$
dove se $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ allora $p'(x)=a_1+2a_2x+...+na_nx^(n-1)$ è il polinomio derivato di $p(x)$.
1) Stabilire se $X$ è o meno un sottospazio.
2) Per $n=2$, determinare una base $B$ per $U=L[X]$ ed un sottospazio $V$ tale che $RR_2[x]= U oplus V$
Se potete anche dirmi dove poter prendere esercizi del genere per esercitarmi. Grazie mille
Risposte
per fare l'1)
considera $p,q in X$ e guarda se $(p+q)$ sta anch'esso in $X$; controlla anche il polinomio $\alpha*p$, con $\alpha in RR$
considera $p,q in X$ e guarda se $(p+q)$ sta anch'esso in $X$; controlla anche il polinomio $\alpha*p$, con $\alpha in RR$
La domanda che mi sorge spontanea è derivando, l'unico polinomio che mi da valore 0 nel punto 1 o in qualsiasi altro punto è:
$p(x)=a_0$
quindi se prendo due polinomi generici $p$ e $q$ di grado $n$ sicuramente essi non appartengono ad $X$ poichè la loro derivata è diversa da $0$. Quindi non so come procedere.
$p(x)=a_0$
quindi se prendo due polinomi generici $p$ e $q$ di grado $n$ sicuramente essi non appartengono ad $X$ poichè la loro derivata è diversa da $0$. Quindi non so come procedere.
La derivata in questione è esattamente la stessa che hai visto in analisi. Il testo non ti chiede che la derivata sia 0 identicamente, ma che assuma il valore 0 nel punto uno. Detto questo è evidente che l'insieme dei polinomi con derivata identicamente 0 sia un sottospazio di dimensione 1.
Direi comunque che il tuo problema non è l'esercizio ma la nozione di sottospazio.
Il sottospazio di \(\mathbb{R}^n\) definito dall'equazione \(x_1+2x_2+\dotsb+(n-1)x_{n-1}=0\) è un sottospazio? Come lo dimostreresti?
Direi comunque che il tuo problema non è l'esercizio ma la nozione di sottospazio.
Il sottospazio di \(\mathbb{R}^n\) definito dall'equazione \(x_1+2x_2+\dotsb+(n-1)x_{n-1}=0\) è un sottospazio? Come lo dimostreresti?
Forse hai ragione, il mio problema è l'applicazione, cioè so che un sottospazio vettoriale per essere tale deve soddisfare le proprietà di spazio vettoriale in sè, cioè sia $V$ uno spazio vettoriale un sottospazio $WinV$ è tale se:
1) presi due elementi in $W$ la loro somma è in $W$
2) preso uno scalare $lambdainRR$ e un vettore $winW$ il prodotto $lambdawinW$
Ho provato con esercizi abbastanza semplici e fin li ci siamo, adesso la mia difficoltà sta proprio in questi.
Grazie per l'attenzione.
1) presi due elementi in $W$ la loro somma è in $W$
2) preso uno scalare $lambdainRR$ e un vettore $winW$ il prodotto $lambdawinW$
Ho provato con esercizi abbastanza semplici e fin li ci siamo, adesso la mia difficoltà sta proprio in questi.
Grazie per l'attenzione.
La definizione è corretta. D'altra parte poi scrivi
I polinomi di \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) non sono necessariamente di grado \(\displaystyle n \), come non lo sono quelli di \(\displaystyle X \). In ogni caso, tu non devi prendere elementi qualsiasi di \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) e la condizione di appartenenza ad \(\displaystyle X \) non è avere la derivata uguale a \(\displaystyle 0 \), ma avere la derivata in \(\displaystyle 1 \) uguale a \(\displaystyle 0 \).
Affinché un polinomio abbia la derivata in \(\displaystyle 1 \) uguale a \(\displaystyle 0 \) si deve avere la seguente condizione sui coefficienti \(\displaystyle a_1 + 2a_2 + \dotsb + na_n = 0 \). Da qui si procede come se ti trovassi in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n+1} \).
Un metodo alternativo per vedere che \(\displaystyle X \) è un sottospazio è osservare che \(\displaystyle \frac{d}{dx}\colon \mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_{n-1}[x]\) è una mappa lineare, che \(\displaystyle X \) contiene \(\displaystyle \ker \frac{d}{dx} \) e che \(\displaystyle \mathrm{Im}(X) = \{ p\in \mathbb{R}_{n-1}[x] : p(1) = 0 \} = Y \). Siccome \(\displaystyle Y \) è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}_{n-1}[x] \) allora la sua controimmagine in \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) è un sottospazio, e \(\displaystyle X \) non è altro che la controimmagine di \(\displaystyle Y \).
"SIDIMU":(grassetto mio per segnalarti le componenti sbagliate della tua frase).
quindi se prendo due polinomi generici $p$ e $q$ di grado $n$ sicuramente essi non appartengono ad $X$ poichè la loro derivata è diversa da $0$. Quindi non so come procedere.
I polinomi di \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) non sono necessariamente di grado \(\displaystyle n \), come non lo sono quelli di \(\displaystyle X \). In ogni caso, tu non devi prendere elementi qualsiasi di \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) e la condizione di appartenenza ad \(\displaystyle X \) non è avere la derivata uguale a \(\displaystyle 0 \), ma avere la derivata in \(\displaystyle 1 \) uguale a \(\displaystyle 0 \).
Affinché un polinomio abbia la derivata in \(\displaystyle 1 \) uguale a \(\displaystyle 0 \) si deve avere la seguente condizione sui coefficienti \(\displaystyle a_1 + 2a_2 + \dotsb + na_n = 0 \). Da qui si procede come se ti trovassi in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n+1} \).
Un metodo alternativo per vedere che \(\displaystyle X \) è un sottospazio è osservare che \(\displaystyle \frac{d}{dx}\colon \mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_{n-1}[x]\) è una mappa lineare, che \(\displaystyle X \) contiene \(\displaystyle \ker \frac{d}{dx} \) e che \(\displaystyle \mathrm{Im}(X) = \{ p\in \mathbb{R}_{n-1}[x] : p(1) = 0 \} = Y \). Siccome \(\displaystyle Y \) è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}_{n-1}[x] \) allora la sua controimmagine in \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) è un sottospazio, e \(\displaystyle X \) non è altro che la controimmagine di \(\displaystyle Y \).
Giusto adesso ho capito. Quindi:
prendo il generico polinomio $a_1+2a_2+...+na_n=0$ che soddisfa la mia condizione e verifico che soddisfa le condizioni di sottospazio:
1) Effettuo la somma che con un'altro polinomio che soddisfa la mia condizione, per esempio $b_1+2b_2+...+nb_n=0$, risulta $(a_1+2a_2+...+na_n)+(b_1+2b_2+...+nb_n)=0$, quindi la prima condizione è soddisfatta.
2) Sia $lambdainRR$ uno scalare e sia $a_1+2a_2+...+na_n=0$ il polinomio in considerazione, risulta:
$(lambdaa_1)+(lambda2a_2)+...+(lambdana_n)$ da cui: $lambda(a_1+2a_2+...+na_n)=0$.
Essendo soddisfatte entrambe le condizioni posso affermare che $X$ è un sottospazio. Giusto?
prendo il generico polinomio $a_1+2a_2+...+na_n=0$ che soddisfa la mia condizione e verifico che soddisfa le condizioni di sottospazio:
1) Effettuo la somma che con un'altro polinomio che soddisfa la mia condizione, per esempio $b_1+2b_2+...+nb_n=0$, risulta $(a_1+2a_2+...+na_n)+(b_1+2b_2+...+nb_n)=0$, quindi la prima condizione è soddisfatta.
2) Sia $lambdainRR$ uno scalare e sia $a_1+2a_2+...+na_n=0$ il polinomio in considerazione, risulta:
$(lambdaa_1)+(lambda2a_2)+...+(lambdana_n)$ da cui: $lambda(a_1+2a_2+...+na_n)=0$.
Essendo soddisfatte entrambe le condizioni posso affermare che $X$ è un sottospazio. Giusto?
"SIDIMU":
Giusto adesso ho capito. Quindi:
prendo il generico polinomio $a_1+2a_2+...+na_n=0$ che soddisfa la mia condizione e verifico che soddisfa le condizioni di sottospazio:
1) Effettuo la somma che con un'altro polinomio che soddisfa la mia condizione, per esempio $b_1+2b_2+...+nb_n=0$, risulta $(a_1+2a_2+...+na_n)+(b_1+2b_2+...+nb_n)=0$, quindi la prima condizione è soddisfatta.
2) Sia $lambdainRR$ uno scalare e sia $a_1+2a_2+...+na_n=0$ il polinomio in considerazione, risulta:
$(lambdaa_1)+(lambda2a_2)+...+(lambdana_n)$ da cui: $lambda(a_1+2a_2+...+na_n)=0$.
Essendo soddisfatte entrambe le condizioni posso affermare che $X$ è un sottospazio. Giusto?
Si e no. No perché $a_1+2a_2+...+na_n=0$ è la condizione e non il polinomio, sì perché l'idea è giusta. Insomma dovresti scrivere prendo il generico polinomio $a_0 + a_1x + a_2x^2+...+ a_nx^n$ che soddisfa $a_1+2a_2+...+na_n=0$.
Giusto, infatti mi sembrava strano e qualcosa non mi quadrava, modifico nel caso a qualcuno interessi? così è più immediata la soluzione.
Per il secondo punto mi daresti una mano?
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie di tutto
Per il secondo punto mi daresti una mano?
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie di tutto
Per questo aspetto conviene usare il secondo punto di vista.
Se \(\displaystyle n=2 \) allora \(\displaystyle \mathrm{Im}(X) = \mathcal{L}(x-1)\) che è un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 1 \). Quindi \(\displaystyle X = \ker \frac{d}{dx} \oplus \mathcal{L}(p_0) \) dove \(\displaystyle 0\neq p_0\in {\frac{d}{dx}}^{-1}(x-1) = \int (x-1)\,dx \) (ricordo che l'integrale è definito a meno di una costante arbitraria). Siccome \(\displaystyle \ker \frac{d}{dx} = \mathbb{R} = \mathbb{R}_0[x] \subset \mathbb{R}_2[x] \) allora \(\displaystyle U = X = \mathcal{L}\biggl(1, \frac{1}{2}x^2-x\biggr) \).
Siccome \(\displaystyle \dim \mathbb{R}_2[x] = 3 \) allora \(\displaystyle \dim V = 1 \). Qualsiasi polinomio non appartenente a \(\displaystyle X \) va bene come possibile generatore di \(\displaystyle V \).
Se \(\displaystyle n=2 \) allora \(\displaystyle \mathrm{Im}(X) = \mathcal{L}(x-1)\) che è un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 1 \). Quindi \(\displaystyle X = \ker \frac{d}{dx} \oplus \mathcal{L}(p_0) \) dove \(\displaystyle 0\neq p_0\in {\frac{d}{dx}}^{-1}(x-1) = \int (x-1)\,dx \) (ricordo che l'integrale è definito a meno di una costante arbitraria). Siccome \(\displaystyle \ker \frac{d}{dx} = \mathbb{R} = \mathbb{R}_0[x] \subset \mathbb{R}_2[x] \) allora \(\displaystyle U = X = \mathcal{L}\biggl(1, \frac{1}{2}x^2-x\biggr) \).
Siccome \(\displaystyle \dim \mathbb{R}_2[x] = 3 \) allora \(\displaystyle \dim V = 1 \). Qualsiasi polinomio non appartenente a \(\displaystyle X \) va bene come possibile generatore di \(\displaystyle V \).
Se volessi usare il primo punto, come svolto sopra, come posso fare?
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie
Il punto uno non dice nulla sul punto 2. Se trovi difficile il punto di vista che ho espresso, puoi fare i calcoli con il ragionamento.
Te lo chiedo perché il mio professore a lezione spiegando gli spazi vettoriali non ha mai fatto vedere nulla di simile, quindi penso voglia un altra tipo di ragionamento. Se non c'è possibilità di svolgerlo diversamente procedo come mi hai detto tu.
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie
Sai dove posso reperire esercizi simili?
Grazie
Con il ragionamento intendo dire qualcosa di questo tipo.
Per ogni elemento \(\displaystyle p\in X \), la sua derivata \(\displaystyle p' \) è \(\displaystyle 0 \) o è multiplo di \(\displaystyle x-1 \) (è un modo alternativo per esprimere la definizione di \(\displaystyle X \)). Siccome la derivata di un polinomio di grado al più \(\displaystyle 2 \) è di grado al più \(\displaystyle 1 \) allora la derivata di un qualsiasi elemento di \(\displaystyle X \) è uguale a \(\displaystyle \alpha(x-1) \) per \(\displaystyle \alpha\in \mathbb{R} \), con \(\displaystyle \alpha = 0 \) se e solo se il polinomio è una costante. Integrando \(\displaystyle p' = \alpha(x-1) \) trovi che \(\displaystyle p = X \) ha la forma \(\displaystyle \int \alpha(x-1)\,dx = \frac{\alpha}{2}x^2 + \alpha x + c_0 \) per qualche \(\displaystyle \alpha, c_0 \in \mathbb{R} \), che è esattamente quello che ho scritto io prima ragionando in termini di applicazioni lineari (l'ho fatto anche qui ma ho nascosto il ragionamento).
Alternativamente puoi usare la relazione \(\displaystyle a_1 + 2a_2 = 0 \) per scrivere \(\displaystyle X \) come \(\displaystyle \{ p\in\mathbb{R}_2[x] : a_1 = 2a_2 \} \). A questo punto noti che i coefficienti del polinomio dipendono dai soli due valori \(\displaystyle a_0 \) e \(\displaystyle a_1 \) e che questi sono indipendenti. Scegliendo opportunamente i loro valori trovi due generatori di \(\displaystyle X \).
Non saprei consigliarti sul luogo dove trovare esercizi. Questi sono esercizi abbastanza base sull'argomento; ogni libro di algebra lineare dovrebbe fornirne un po'. Potresti provare a dare un'occhiata agli Schaum di algebra lineare.
Per ogni elemento \(\displaystyle p\in X \), la sua derivata \(\displaystyle p' \) è \(\displaystyle 0 \) o è multiplo di \(\displaystyle x-1 \) (è un modo alternativo per esprimere la definizione di \(\displaystyle X \)). Siccome la derivata di un polinomio di grado al più \(\displaystyle 2 \) è di grado al più \(\displaystyle 1 \) allora la derivata di un qualsiasi elemento di \(\displaystyle X \) è uguale a \(\displaystyle \alpha(x-1) \) per \(\displaystyle \alpha\in \mathbb{R} \), con \(\displaystyle \alpha = 0 \) se e solo se il polinomio è una costante. Integrando \(\displaystyle p' = \alpha(x-1) \) trovi che \(\displaystyle p = X \) ha la forma \(\displaystyle \int \alpha(x-1)\,dx = \frac{\alpha}{2}x^2 + \alpha x + c_0 \) per qualche \(\displaystyle \alpha, c_0 \in \mathbb{R} \), che è esattamente quello che ho scritto io prima ragionando in termini di applicazioni lineari (l'ho fatto anche qui ma ho nascosto il ragionamento).
Alternativamente puoi usare la relazione \(\displaystyle a_1 + 2a_2 = 0 \) per scrivere \(\displaystyle X \) come \(\displaystyle \{ p\in\mathbb{R}_2[x] : a_1 = 2a_2 \} \). A questo punto noti che i coefficienti del polinomio dipendono dai soli due valori \(\displaystyle a_0 \) e \(\displaystyle a_1 \) e che questi sono indipendenti. Scegliendo opportunamente i loro valori trovi due generatori di \(\displaystyle X \).
Non saprei consigliarti sul luogo dove trovare esercizi. Questi sono esercizi abbastanza base sull'argomento; ogni libro di algebra lineare dovrebbe fornirne un po'. Potresti provare a dare un'occhiata agli Schaum di algebra lineare.
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