Esercizio su Sottospazi Vettoriali
Ciao Ragazzi,
vi scrivo perchè son capitato in un esercizio d'esame riguardo un argomento che non ho potuto seguire a lezione.
Allora, l'esercizio recita:
-In $RR^4$ si consideri il sottospazio vettoriale V = [(-4,2,0,0),(1,0,0,0),(-3,2,0,0)] ed il sottospazio U rappresentato nel riferimento naturale dall'equazione U : $x+2y+3z=0$ .
Determinare:
1) le equazioni ordinarie (immagino siano le cartesiane) di V e la dimensione ed una base di U;
2) la dimensione ed una base di U+V e U$nn$V. I due sottospazi sono supplementari?
E' il mio primo messaggio sul forum e mi sono iscritto perchè ho visto che è davvero valido. Spero di poter dare il mio contributo nelle altre materie perchè in Algebra non sono proprio sicuro di poter dare una mano!
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà
vi scrivo perchè son capitato in un esercizio d'esame riguardo un argomento che non ho potuto seguire a lezione.
Allora, l'esercizio recita:
-In $RR^4$ si consideri il sottospazio vettoriale V = [(-4,2,0,0),(1,0,0,0),(-3,2,0,0)] ed il sottospazio U rappresentato nel riferimento naturale dall'equazione U : $x+2y+3z=0$ .
Determinare:
1) le equazioni ordinarie (immagino siano le cartesiane) di V e la dimensione ed una base di U;
2) la dimensione ed una base di U+V e U$nn$V. I due sottospazi sono supplementari?
E' il mio primo messaggio sul forum e mi sono iscritto perchè ho visto che è davvero valido. Spero di poter dare il mio contributo nelle altre materie perchè in Algebra non sono proprio sicuro di poter dare una mano!
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà
Risposte
Devi aver sbagliato a scrivere o copiare dal testo, $V$ non è un sottospazio, non contiene l'elemento nullo.
Ho ricontrollato ma l'esercizio è scritto esattamente così...
Considero il sottospazio $V $ ; se moltiplico il primo vettore per $alpha in RR $, il secondo vettore per $alpha $ e il terzo vettore per $ - alpha $ e li sommo , ne faccio cioè combinazione lineare , trovo come risultato il vettore nullo.
si consideri il sottospazio vettoriale V = [(-4,2,0,0),(1,0,0,0),(-3,2,0,0)]
@camillo Da che mondo è mondo quella scrittura significa che $V$ è formato da solo quei tre vettori, non che $V$ è generato da quei tre vettori.
Molto probabilmente è come dici tu, avrebbe dovuto essere però $V=span(v_1,v_2,v_3)$ oppure $V=L(v_1,v_2,v_3)$
Infatti penso che siano state indicate parentesi quadre $[ ] $ invece che $< > $ , comunque il tuo tono perentorio non è gradito in questo forum. rifletti 3 volte prima di sparare a zero.
Io sono nel giusto, non si usano formalismi inventati ad hoc e senza avvisare sul significato.
Ecco la mia soluzione
*Sottospazio $V$ di $RR^4 $ : il terzo vettore $(-3,2,0,0)$ è somma del primo e del secondo , mentre il primo e il secondo sono tra loro indipendenti.
Pertanto $DIM V = 2 $ ; ovviamente una base di $V $ è $ (-4,2,0,0),( 1,0,0,0)$.
Espressione cartesiana di $V: z=0 , t=0 , x,y $ liberi.
Verifico per scrupolo la correttezza di quanto detto : considero il generico vettore $bar x in V $ essendo $bar x = (x,y,z,t ) in RR^4 $ , esso appartiene a $V$ se e solo se è una combinazione lineare dei generatori di $V$ cioè a dire se:
rango $((x,y,z,t),( -4,2,0,0),(1,0,0,0))=2 $ da cui si deduce che deve essere :
$det ((x,y,z),(-4,2,0),(1,0,0)) =0 $ e anche $ det((x,y,t),(-4,2,0),(1,0,0))=0 $ il che significa : $z=0,t=0$.
*Sottospazio $U$ di $RR^4 $ : $x+2y+3z =0 rarr x= -2y-3z$ e $t $ libero quindi
$DIM U = 4-1=3 $ essendoci una relazione tra le variabili.
Il generico vettore $u in U = ( -2y-3z,y,z,t ) = y(-2,1,0,0)+z (-3,0,1,0) +t(0,0,0,1) $ .
Una base di U è quindi $(-2,1,0,0),(-3,0,1,0),(0,0,0,1)$.
*$DIM $ e una base di $U+V$ e di $U nn V $
Considero prima $U nn V$ . Pongo a sistema le equazioni che contraddistinguono i due sottospazi :
$x+2y+3z=0 $
$z=0 $
$t=0 $
Da cui si ottiene : $x=-2y $ e quindi il generico vettore del sottospazio intersezione è dato da $(-2y,y,0,0) $ ed è quindi un sottospazio di dimensione =1 ; una base è ad esempio :
$(-2,1,0,0)$.
A questo punto la formula di Grassman dice che :
$ DIM (U+V) = DIM U +DIM V –DIM ( U nn V) = 3+2-1=4 $
Allora se tutti i conti sono giusti la somma dei due sottospazi coincide con $RR^4$.
*Sottospazio $V$ di $RR^4 $ : il terzo vettore $(-3,2,0,0)$ è somma del primo e del secondo , mentre il primo e il secondo sono tra loro indipendenti.
Pertanto $DIM V = 2 $ ; ovviamente una base di $V $ è $ (-4,2,0,0),( 1,0,0,0)$.
Espressione cartesiana di $V: z=0 , t=0 , x,y $ liberi.
Verifico per scrupolo la correttezza di quanto detto : considero il generico vettore $bar x in V $ essendo $bar x = (x,y,z,t ) in RR^4 $ , esso appartiene a $V$ se e solo se è una combinazione lineare dei generatori di $V$ cioè a dire se:
rango $((x,y,z,t),( -4,2,0,0),(1,0,0,0))=2 $ da cui si deduce che deve essere :
$det ((x,y,z),(-4,2,0),(1,0,0)) =0 $ e anche $ det((x,y,t),(-4,2,0),(1,0,0))=0 $ il che significa : $z=0,t=0$.
*Sottospazio $U$ di $RR^4 $ : $x+2y+3z =0 rarr x= -2y-3z$ e $t $ libero quindi
$DIM U = 4-1=3 $ essendoci una relazione tra le variabili.
Il generico vettore $u in U = ( -2y-3z,y,z,t ) = y(-2,1,0,0)+z (-3,0,1,0) +t(0,0,0,1) $ .
Una base di U è quindi $(-2,1,0,0),(-3,0,1,0),(0,0,0,1)$.
*$DIM $ e una base di $U+V$ e di $U nn V $
Considero prima $U nn V$ . Pongo a sistema le equazioni che contraddistinguono i due sottospazi :
$x+2y+3z=0 $
$z=0 $
$t=0 $
Da cui si ottiene : $x=-2y $ e quindi il generico vettore del sottospazio intersezione è dato da $(-2y,y,0,0) $ ed è quindi un sottospazio di dimensione =1 ; una base è ad esempio :
$(-2,1,0,0)$.
A questo punto la formula di Grassman dice che :
$ DIM (U+V) = DIM U +DIM V –DIM ( U nn V) = 3+2-1=4 $
Allora se tutti i conti sono giusti la somma dei due sottospazi coincide con $RR^4$.
Vi ringrazio tantissimo per la disponibilità! Finalmente sono riuscito a passare l'esame di geometria anche grazie a questo esercizio!
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