Esercizio su sottospazi.. ma richiesta non compresa..
Ciao a tutti, mi sono trovato davanti questo esercizio che una domanda del mio prof, ma non ho capito la richiesta. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo
ecco nel mio insieme $ R=:\{(x,x^2): x\in RR\} sube V=: mathbb(K^2) $
cosa significa? che è un insieme di punti?.. cioè che è così? $((x),(x^2))$
ah so benissimo che cos'è un sottospazio vettoriale, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni
la definizione:
Quello che non riesco a capire di questo esercizio, sono quei 2 insiemi..non capisco come sistemare sia il vettore $ul(v)$ sia il vettore $ul(w)$
Qualche suggerimento?..per favore..
ecco nel mio insieme $ R=:\{(x,x^2): x\in RR\} sube V=: mathbb(K^2) $
cosa significa? che è un insieme di punti?.. cioè che è così? $((x),(x^2))$
ah so benissimo che cos'è un sottospazio vettoriale, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni
la definizione:
Quello che non riesco a capire di questo esercizio, sono quei 2 insiemi..non capisco come sistemare sia il vettore $ul(v)$ sia il vettore $ul(w)$
Qualche suggerimento?..per favore..
Risposte
Il primo è un sotto-insieme di $\mathbb{R}^2$ i cui punti sono della forma $(x,x^2)$ per qualche $x\in\mathbb{R}$. Se è uno spazio vettoriale allora la somma di due elementi di $R$ deve appartenere a $R$, cioè:
$$
\forall x,y\in\mathbb{R}\exists z\in\mathbb{R} |\quad (x,x^2)+(y,y^2)=(x+y,x^2+y^2)=(z,z^2)
$$
ed è facile convincersi che è impossibile. Dunque non è uno spazio vettoriale.
Il secondo invece è uno spazio vettoriale dato che $(X,AX)+(Y,AY)=(X+Y,A(X+Y))=(Z,AZ)$ con $Z=X+Y$ e $\alpha(X,AX)=(\alphaX,A(\alphaX))=(Z,AZ)$ con $Z=\alphaX$
$$
\forall x,y\in\mathbb{R}\exists z\in\mathbb{R} |\quad (x,x^2)+(y,y^2)=(x+y,x^2+y^2)=(z,z^2)
$$
ed è facile convincersi che è impossibile. Dunque non è uno spazio vettoriale.
Il secondo invece è uno spazio vettoriale dato che $(X,AX)+(Y,AY)=(X+Y,A(X+Y))=(Z,AZ)$ con $Z=X+Y$ e $\alpha(X,AX)=(\alphaX,A(\alphaX))=(Z,AZ)$ con $Z=\alphaX$
"6KIRA6":
Il primo è un sotto-insieme di $\mathbb{R}^2$ i cui punti sono della forma $(x,x^2)$ per qualche $x\in\mathbb{R}$. Se è uno spazio vettoriale allora la somma di due elementi di $R$ deve appartenere a $R$, cioè:
$$
\forall x,y\in\mathbb{R}\exists z\in\mathbb{R} |\quad (x,x^2)+(y,y^2)=(x+y,x^2+y^2)=(z,z^2)
$$
ed è facile convincersi che è impossibile. Dunque non è uno spazio vettoriale.
intanto grazie per la risposta! Per il secondo insieme, ho capito quello che hai fatto, mentre per il primo insieme, mi perdo nell'utlimo passaggio
cioè fino a qui ci sono $(x,x^2)+(y,y^2)=(x+y, x^2+y^2)$
poi perchè poni $z=x+y$ ?..io mi sarei fermato solamente alla somma.. come da definizione $\ul(v)+\ul(w)=\ul(w)+\ul(v)\in W$
mi sono perso sono nell'ultimo passaggio.. quando hai fatto $(z,z^2)$..
Affinché $(x+y,x^2+y^2)$ appartenga a $R$ deve essere scrivibile nella forma $(z,z^2)$ per qualche $z\in\mathbb{R}$. Tuttavia, se esistesse, avremmo che $z=x+y$ e $z^2=x^2+y^2$, da cui (elevando la prima equazione al quadrato) $2xy=0$, ovvero non tutti i vettori di $R$ sommati tra di loro danno ancora un vettore di $R$.
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