Esercizio su sottospazi di matrici

[Anaklukes]

Intanto saluti a tutti. Volevo porvi un problema relativo ai sottospazi.
Il testo è il seguente:
"Siano $ A=( ( 1 , -1 ),( 2 , 0 ) ) $ e $ B=( ( 1 , 1 ),( -1 , 3 ) ) $ due matrici di $ M_2(R) $.
Siano $ U= $ e $ W={( ( a , b ),( c , d ) ) in M_2(R) | a-2b+c=0} $
Determinare la dimensione e una base di $ U $. In $ U $ vi sono matrici, diverse dalla matrice nulla, aventi la prima riga nulla? Calcolare $ Unn W $."
Vi dico come ho eseguito parte dell'esercizio ed in seguito cosa non sono riuscito a fare.
Come prima cosa ho trovato $ AB $ e $A+2B$. Per trovare una base di $U$ ho constatato che $A+2B$ è combinazione lineare di $A$ e $B$ quindi sarà linearmente dipendente e non farà parte della base. Quindi ho verificato che le restanti tre matrici fossero linearmente indipendenti impostando:
$ xA+yB+zAB=0 $ $ rArr $ $ x( ( 1 , -1 ),( 2 , 0 ) ) +y( ( 1 , 1 ),( -1 , 3 ) )+z( ( 2 , -2 ),( 2 , 2 ) ) = ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
da cui:
$ ( ( x+y+2z , -x+y-2z ),( 2x-y+2z , 3y+2z ) ) =( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ $ rArr { ( x+y+2z=0 ),( -x+y-2z=0 ),( 2x-y+2z=0 ),( 3y+2z=0 ):} $
Ho considerato la matrice dei coefficienti, l'ho ridotta a gradini ed ho trovato $ x=0, y=0, z=0 $: le tre matrici sono linearmente dipendenti e formano una base di $U$ che ha quindi dimensione 3.
Ho poi esplicitato $W$ considerando $ a-2b+c=0 rArr { ( a=2s-r ),( b=s ),( c=r ),( d=t ):} $
La generica matrice di $W$ è quindi $ ( ( 2s-r , s ),( r , t ) ) $ $ =s( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) ) +r( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) +t( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Quindi base di $W$ $ = {( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) } $
$dim(W)=3$
Per trovare $ Unn W $ invece ho considerato il generico elemento di $U$ $u= a( ( 1 , -1 ),( 2 , 0 ) ) +b( ( 1 , 1 ),( -1 , 3 ) ) +c( ( 2 , -2 ),( 2 , 2 ) )= ( ( a+b+2c , -a+b-2c ),( 2a-b+2c , 3b+2c ) )$
ed il generico elemento di $W$
$w= d( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) ) +e( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) +f( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )= ( ( 2d-e , d ),( e , f ) )$
Ho posto $( ( a+b+2c , -a+b-2c ),( 2a-b+2c , 3b+2c ) )= ( ( 2d-e , d ),( e , f ) )$ $ rArr { ( a+b+2c-2d+e=0 ),( -a+b-2c-d=0 ),( 2a-b+2c-e=0 ),( 3b+2c-f=0 ):} $
Al solito matrice dei coefficienti, riduzione a gradini e trovo
$ a=7/4s+1/4t $
$b=5/8s+3/8t$
$c=-15/16s-1/16t$
$d=3/4s+1/4t$
$e=s$
$f=t$
Qui partono i miei dubbi:
1) A questo punto cosa devo fare per trovare $ Unn W $? Devo semplicemente sotituire i valori trovati nei generici elementi $u$ e $w$? Il procedimento che ho usato è comunque corretto fino a questo punto?
2) Non riesco a capire come fare per rispondere alla domanda che pone il testo "in $ U $ vi sono matrici, diverse dalla matrice nulla, aventi la prima riga nulla?"
Vi ringrazio in anticipo per le eventuali risposte e scusate se sono stato prolisso.

[Peter Pan1]

Ciao Anaklukes

"Anaklukes":1) A questo punto cosa devo fare per trovare U∩W? Devo semplicemente sotituire i valori trovati nei generici elementi u e w? Il procedimento che ho usato è comunque corretto fino a questo punto?

Tutto il ragionamento è corretto. $ UnnW $ l'hai trovato; ti basta solo esplicitarlo. Per fare questo, dato che hai fissato come parametri $ s,t $, assegnali due valori e sostituiscili per trovarti $ d,e,f $ nella matrice(va bene anche se ti trovi $ a,b,c $). Esempio $ s=0,t=4 rArr((2,1),(0,4)) $ e $ s=1,t=-3rArr((-1,0),(1,-3)) $.

"Anaklukes":2) Non riesco a capire come fare per rispondere alla domanda che pone il testo "in U vi sono matrici, diverse dalla matrice nulla, aventi la prima riga nulla?"

Puoi procedere così: prendi una generica matrice che abbia la prima riga nulla e la seconda riga con 2 numeri generici diversi da 0. Scrivi una generica combinazione lineare dei vettori di base di $ U $ e cerca di vedere se è possibile che queste matrici siano uguali.
Comunque puoi fare lo stesso esercizio un pò più veloce (forse ) con l'equazioni cartesiane degli spazi $ U,W $.Se vuoi te lo scrivo.
Ciao!

[Anaklukes]

Ciao, intanto grazie per la risposta.
Per quanto riguarda il primo punto credo di avere capito. Ma provando a sostituire i valori i valori
$ a=7/4s+1/4t $
$b=5/8s+3/8t$
$c=-15/16s-1/16t$
$d=3/4s+1/4t$
$e=s$
$f=t$
nelle combinazioni lineari
$u= a( ( 1 , -1 ),( 2 , 0 ) ) +b( ( 1 , 1 ),( -1 , 3 ) ) +c( ( 2 , -2 ),( 2 , 2 ) )= ( ( a+b+2c , -a+b-2c ),( 2a-b+2c , 3b+2c ) )$
$w= d( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) ) +e( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) +f( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )= ( ( 2d-e , d ),( e , f ) )$
sarebbe lo stesso corretto come procedimento per esplicitare $ Unn W $?
Ho provato a farlo sostituendo o solo $ a,b,c $ o solo $d,e,f$ poichè avevo impostato l'identità e mi è venuto fuori che la generica matrice che appartiene a $ Unn W $ è data da $ ( ( 1/2s+1/2t , 3/4s+1/4t ),( s , t ) ) =( ( 1/2 , 3/4 ),( 1 , 0 ) )s+( ( 1/2 , 1/4 ),( 0 , 1 ) )t $
per cui $ Unn W =<( ( 1/2 , 3/4 ),( 1 , 0 ) ),( ( 1/2 , 1/4 ),( 0 , 1 ) )>$ e $ Base (U nn W)= {( ( 1/2 , 3/4 ),( 1 , 0 ) ),( ( 1/2 , 1/4 ),( 0 , 1 ) )} $
e $dim ( Unn W) =2$
sebbene piu' lungo come procedimento sarebbe ugualmente corretto? Se mi avesse chiesto la dimensione avrei dovuto fare così giusto?
Per il secondo punto circa l'esistenza in U di matrici con prima riga nulla, ho provato a fare come mi hai consigliato ed ho provato ad impostare come segue:
$( ( 0 , 0 ),( d , e ) )= a( ( 1 , -1 ),( 2 , 0 ) ) +b( ( 1 , 1 ),( -1 , 3 ) ) +c( ( 2 , -2 ),( 2 , 2 ) )$ $ rArr { ( a+b+2c=0 ),( -a+b-2c=0 ),( 2a-b+2c-d=0 ),( 3b+2c-e=0 ):} $
Trovo che $ { ( a=-2t ),( b=0 ),( c=t ),( d=-2t ),( e=2t ):} $
e provando per esempio ad imporre $t=1$ ottengo $ ( ( 0 , 0 ),( -2 , 2 ) ) = ( ( 0 , 0 ),( -2 , 2 ) ) $
E quindi dimostrato che esiste una matrice con la prima riga nulla? E' questo il procedimento che intendevi?
Se invece hai tempo, e voglia, mi piacerebbe se mi facessi vedere la risoluzione dell'esercizio tramite le equazioni cartesiane, come mi avevi accennato

[Peter Pan1]

Ciao Anaklukes
Per quanto riguarda l'esercizio sull'intersezione dei sottospazi va tutto bene.

"Anaklukes": Se mi avesse chiesto la dimensione avrei dovuto fare così giusto?

C'è anche un altro modo di procedere se vuoi calcolarti solo la dimensione. Puoi utilizzare la formula di Grassmann però devi trovarti comunque la dimensione del sottospazio somma dei due. Si tratta di fare un pò meno conti(anche se alla fine non così meno ).

"Anaklukes":E quindi dimostrato che esiste una matrice con la prima riga nulla? E' questo il procedimento che intendevi?

Si era questo il procedimento che intendevo. Io non ho fatto poi un esempio "concreto". L'importante e che fai vedere che se prendi una matrice con la seconda riga diversa da 0, puoi sempre trovare dei coefficienti per le combinazioni lineari che ti determinano un'uguaglianza, ossia che le matrici di questo tipo appartengono ad U.

[Peter Pan1]

L'utilizzo delle equazioni cartesiane ti può facilitare i conti perchè, per $ W $ te le fornisce già il testo dell'esercizio. Per trovarti quelle di $ U $ puoi fare così.
1)Scrivi i vettori di base di $ U $ come vettori colonna di una matrice. Tipo $ ((1,-1),(2,0))rArr((1),(-1),(2),(0)) $.
2)Inserisci una quarta colonna che scrivi come generico vettore incognito di $ R^4 $. Tipo $ ((x),(y),(z),(t)) $.
3)Riduci con Gauss e quando nella matrice dei coefficienti hai una riga con tutti 0 la combinazione di $ x,y,z,t $ è un equazione cartesiana.
4) una volta determinata, la metti a sistema con quella di $ W $ che è $ x-2y+z $(ho cambiato le $ a,b,c $ con $ x,y,z $).
5)Ottieni così le relazioni che ci sono tra le coordinate dei vettori dell'intersezione.
6)Riporti tutto a livello matriciale considerando che $ ((x),(y),(z),(t))rArr((x,y),(z,t)) $.
Scrivimi pure se qualcosa non ti è chiaro.
Ciao!

[Anaklukes]

Si, credo che mi sia tutto chiaro adesso. Facendo come mi hai detto tu credo che si risparmino un pò di calcoli quindi non posso che ringraziarti per la dritta ed in generale per i consigli che mi hai dato. Grazie tante