Esercizio su somma e unione di sottospazi
ho alcuni dubbi sulla risoluzione di questo esercizio, mi date una mano?
si considerino i due sottospazi di $R^4$
$V={(x+y, x-y, 2x+y, x-2y) \epsilon R^4}$ , $W={(a+2b+c, a-c, 2a+3b+c, a-b-2c) \epsilon R^4}$ calcolare $V nn W$ , $V+W$ , $V uu W$ e dire quale delle seguenti affermazioni: $W sube V$ , $V sube W$ è corretta.
io prima di tutto ho cercato le equazioni cartesiane dei due spazi:
ponendo $x=0 , y=1$ ottengo $v_1 = (1, -1, 1, -2)$
ponendo $x=1 , y=0$ otengo $v_2 = (1, 1, 2, 1)$
$\{(x=a+b),(y=-a+b),(z=a+2b),(t=-2a+b):}$ da cui $y=2z-3x , t=3z-5x$ quindi $V={(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=0}$
allo stesso modo per W:
$\{(x=a+2b+c),(y=a-c),(z=2a+3b+c),(t=a-b-2c):}$ da cui $z=5y-3t , x=3y-2t$ quindi $W={(x,y,z,t) \epsilon R^4| 5y-3t-z=3y-2t-x=0}$
l'intersezione sarà:
$V nn W = {(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=5y-3t-z=3y-2t-x=0}$ da cui $\{(2z-3x-y=0),(3z-5x-t=0),(5y-3t-z=0),(3y-2t-x=0):}$ da cui $\{(x=0),(y=0),(z=0),(t=0):}$
fatto questo posso dire che la somma è diretta e esaurire così la richiesta del calcolo della somma o no?
per quanto riguarda l'unione non mi è chiaro cosa fare per trovarla... è giusto dire che, poichè $V=L(v_1 , v_2 )$, $W=L(w_1 ,w_2 , w_3 )$ e $w_1 =v_2 , w_3 =v_1$ ho $W=L(v_1 ,v_2 ,w_3 )$ e quindi $V sube W$? c'è altro da fare o l'esercizio è risolto così?
si considerino i due sottospazi di $R^4$
$V={(x+y, x-y, 2x+y, x-2y) \epsilon R^4}$ , $W={(a+2b+c, a-c, 2a+3b+c, a-b-2c) \epsilon R^4}$ calcolare $V nn W$ , $V+W$ , $V uu W$ e dire quale delle seguenti affermazioni: $W sube V$ , $V sube W$ è corretta.
io prima di tutto ho cercato le equazioni cartesiane dei due spazi:
ponendo $x=0 , y=1$ ottengo $v_1 = (1, -1, 1, -2)$
ponendo $x=1 , y=0$ otengo $v_2 = (1, 1, 2, 1)$
$\{(x=a+b),(y=-a+b),(z=a+2b),(t=-2a+b):}$ da cui $y=2z-3x , t=3z-5x$ quindi $V={(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=0}$
allo stesso modo per W:
$\{(x=a+2b+c),(y=a-c),(z=2a+3b+c),(t=a-b-2c):}$ da cui $z=5y-3t , x=3y-2t$ quindi $W={(x,y,z,t) \epsilon R^4| 5y-3t-z=3y-2t-x=0}$
l'intersezione sarà:
$V nn W = {(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=5y-3t-z=3y-2t-x=0}$ da cui $\{(2z-3x-y=0),(3z-5x-t=0),(5y-3t-z=0),(3y-2t-x=0):}$ da cui $\{(x=0),(y=0),(z=0),(t=0):}$
fatto questo posso dire che la somma è diretta e esaurire così la richiesta del calcolo della somma o no?
per quanto riguarda l'unione non mi è chiaro cosa fare per trovarla... è giusto dire che, poichè $V=L(v_1 , v_2 )$, $W=L(w_1 ,w_2 , w_3 )$ e $w_1 =v_2 , w_3 =v_1$ ho $W=L(v_1 ,v_2 ,w_3 )$ e quindi $V sube W$? c'è altro da fare o l'esercizio è risolto così?
Risposte
Non ho guardato i calcoli, ma pensaci un attimo; se hai trovato che $V sube W$, e $V != {0}$, come è possibile che sia $V nn W = {0}$?
ok, un paio di segni mi avevano fatto sbagliare le equazioni cartesiane, l'intersezione non è vuota. A questo punto come si fa la somma? il mio libro si limita a dire che $V+W= {v+w| v \epsilon V, w \epsilon W}$ e non fa nessun esempio pratico... cosa dovrei fare?
"taly":
Io prima di tutto ho cercato le equazioni cartesiane dei due spazi:
ponendo $x=0 , y=1$ ottengo $v_1 = (1, -1, 1, -2)$
ponendo $x=1 , y=0$ otengo $v_2 = (1, 1, 2, 1)$
$\{(x=a+b),(y=-a+b),(z=a+2b),(t=-2a+b):}$ da cui $y=2z-3x , t=3z-5x$ quindi $V={(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=0}$
allo stesso modo per W:
$\{(x=a+2b+c),(y=a-c),(z=2a+3b+c),(t=a-b-2c):}$ da cui $z=5y-3t , x=3y-2t$ quindi $W={(x,y,z,t) \epsilon R^4| 5y-3t-z=3y-2t-x=0}$
Fin qua tutto bene: le equazioni cartesiane che descrivono $ V $ e $ W $ sono corrette.
"taly":
l'intersezione sarà:
$V nn W = {(x,y,z,t) \epsilon R^4 | 2z-3x-y=3z-5x-t=5y-3t-z=3y-2t-x=0}$ da cui $\{(2z-3x-y=0),(3z-5x-t=0),(5y-3t-z=0),(3y-2t-x=0):}$ da cui $\{(x=0),(y=0),(z=0),(t=0):}$
La matrice dei coefficienti del sistema lineare che descrive l'intersezione $ V \cap W $ ha rango $ 2 $, pertanto è impossibile che la soluzione sia soltanto quella banale.
Per quanto riguarda la somma, un metodo generale per procedere è il seguente.
Il sottospazio $ V $ è generato dai vettori $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $, le cui componenti rispetto alla base canonica $ C $ di $ \mathbb{R}^4 $ sono rispettivamente
\[ [\mathbf{v}_1]_C = \pmatrix{1 \\ −1 \\ 1 \\ −2} \qquad \text{e} \qquad [\mathbf{v}_2]_C = \pmatrix{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1} \]
Si vede subito che sono linearmente indipendenti, pertanto essi costituiscono anche una base di $ V $.
Cosa mi dici invece sul sottospazio W?
"Riccardo Desimini":
La matrice dei coefficienti del sistema lineare che descrive l'intersezione V∩W ha rango 2, pertanto è impossibile che la soluzione sia soltanto quella banale.
si, infatti avevo già detto di aver sbagliato il calcolo, l'intersezione dovrebbe dare le stesse equazioni di V, se stavolta ho fatto tutto giusto...
"taly":
Il sottospazio V è generato dai vettori v1 e v2, le cui componenti rispetto alla base canonica C di R4 sono rispettivamente
[v1]C=⎛⎝⎜⎜1−11−2⎞⎠⎟⎟e[v2]C=⎛⎝⎜⎜1121⎞⎠⎟⎟
Si vede subito che sono linearmente indipendenti, pertanto essi costituiscono anche una base di V.
Cosa mi dici invece sul sottospazio W?
se ho capito il ragionamento fatto per V, W dovrebbe essere generato da $w_1 = (1,1,2,1) , w_2 = (2,0,3,1) , w_3 = (1,-1,1,-2)$ e $w_2 = w_1 + w_3$ , essendo quindi combinazione lineare degli altri due va scartato e una base di W è costituita da $w_1$ e $w_3$.
come avevo già scritto però $v_1 = w_3$ e $v_2 = w_1$ : in conclusione V=W?
"taly":
se ho capito il ragionamento fatto per V, W dovrebbe essere generato da $w_1 = (1,1,2,1) , w_2 = (2,0,3,1) , w_3 = (1,-1,1,-2)$ e $w_2 = w_1 + w_3$ , essendo quindi combinazione lineare degli altri due va scartato e una base di W è costituita da $w_1$ e $w_3$.
come avevo già scritto però $v_1 = w_3$ e $v_2 = w_1$ : in conclusione V=W?
Occhio: $ [\mathbf{w}_2]_C = ((2),(0),(3),(-1)) $
Comunque, la tua conclusione è corretta.
si, ho sbagliato a copiare w2, sorry
ho un'ultima domanda: se avessi avuto due sottospazi diversi come avrei dovuto esprimere la somma?
grazie per l'aiuto ^_^
ho un'ultima domanda: se avessi avuto due sottospazi diversi come avrei dovuto esprimere la somma?
grazie per l'aiuto ^_^
Domanda legittima, visto che ti avevo promesso un metodo generale (utile nel caso di sottospazi di dimensione finita).
Siano $ U, W \subseteq V $ sottospazi vettoriali di $ V $, con $ \text{dim}\ U = u $, $ \text{dim}\ W = w $. Siano $ B_U = (\mathbf{u}_1, …, \mathbf{u}_u) $ e $ B_W = (\mathbf{w}_1, …, \mathbf{w}_w) $ basi di $ U $, $ W $, rispettivamente.
Un generico vettore $ \mathbf{u} \in U $ si può scrivere nel seguente modo:
\[ \mathbf{u} = \alpha_1 \; \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_u \; \mathbf{u}_u \]
Un generico vettore $ \mathbf{w} \in W $ si può invece scrivere nel seguente modo:
\[ \mathbf{w} = \beta_1 \; \mathbf{w}_1 + \dots + \beta_w \; \mathbf{w}_w \]
A questo punto, basta applicare la definizione di sottospazio somma:
\[ \mathbf{u} + \mathbf{w} = \alpha_1 \; \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_u \; \mathbf{u}_u + \beta_1 \; \mathbf{w}_1 + \dots + \beta_w \; \mathbf{w}_w \]
Quindi
\[ U + W = \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_u, \mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_w) \]
Siano $ U, W \subseteq V $ sottospazi vettoriali di $ V $, con $ \text{dim}\ U = u $, $ \text{dim}\ W = w $. Siano $ B_U = (\mathbf{u}_1, …, \mathbf{u}_u) $ e $ B_W = (\mathbf{w}_1, …, \mathbf{w}_w) $ basi di $ U $, $ W $, rispettivamente.
Un generico vettore $ \mathbf{u} \in U $ si può scrivere nel seguente modo:
\[ \mathbf{u} = \alpha_1 \; \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_u \; \mathbf{u}_u \]
Un generico vettore $ \mathbf{w} \in W $ si può invece scrivere nel seguente modo:
\[ \mathbf{w} = \beta_1 \; \mathbf{w}_1 + \dots + \beta_w \; \mathbf{w}_w \]
A questo punto, basta applicare la definizione di sottospazio somma:
\[ \mathbf{u} + \mathbf{w} = \alpha_1 \; \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_u \; \mathbf{u}_u + \beta_1 \; \mathbf{w}_1 + \dots + \beta_w \; \mathbf{w}_w \]
Quindi
\[ U + W = \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_u, \mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_w) \]
ok, ancora grazie!
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