Esercizio su somma diretta e formula di Grassmann.

[galles90]

Buongiorno,
Sia V uno spazio vettoriale su un campo \(\displaystyle K \). Si considerino due sottospazi vettoriale \(\displaystyle U_1 , U_2 \) di \(\displaystyle V \) entrambi di dimensione finita \(\displaystyle m \). Esiste un sottospazio \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle V \) tale che \(\displaystyle V=U_1\oplus W=U_2 \oplus W \).

Vi riporto il procedimento dell'esercizio su esposto come è riportato sul mio libro degli esercizi,

Soluzione :
Sia \(\displaystyle {u_1,...,u_l} \) base di \(\displaystyle U_1 \cap U_2 \), per il teorema del completamento si hanno le basi di \(\displaystyle U_1 \) e \(\displaystyle U_2 \), cioe:
\(\displaystyle u_1,...,u_l, x_{l+1},...,x_m \)
\(\displaystyle u_1,...,u_l, y_{l+1},...,y_m \).
Le famiglie \(\displaystyle * \)
\(\displaystyle B_1=u_1,...., u_l,x_{l+1},...,x_m, x_{l+1}+y_{l+1},...,x_m+y_m \)
\(\displaystyle B_2=u_1,...., u_l,y_{l+1},...,y_m, x_{l+1}+y_{l+1},...,x_m+y_m \),
le famiglie generano il sottospazio \(\displaystyle U_1+U_2 \) , per la f. di Grassmann si ha
\(\displaystyle dim(U_1+U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1\cap U_2)=2m-l=|B_1|=|B_2| \), ne segue che
\(\displaystyle B_1, B_2 \) sono basi di \(\displaystyle U_1+U_2 \).
Indicato con \(\displaystyle Z \) un addendo diretto complementare di \(\displaystyle U_1+U_2 \) in \(\displaystyle V \), si ha
\(\displaystyle V=(U_1+U_2)\oplus Z=(U_1\oplus)\oplus Z = (U_2 \oplus)\oplus Z .\) Allora il sottospazio \(\displaystyle W=\oplus Z \) verifica le condizioni chieste dall'esercizio.
Il seguente esercizio non mi è chiaro da \(\displaystyle * \), cioè non riesco a capire perché le va a considerare....se mi potete dare una mano, che sono proprio in crisi

[killing_buddha]

E cosa fai quando $V$ non ha dimensione finita? Fai così:

Definisci \( \mathcal W = \{W'\le V\mid U_1\oplus W' = U_2\oplus W'\}\). \(\mathcal W\) è un insieme parzialmente ordinato dall'inclusione, ed è tale per cui ogni catena di elementi in \(\mathcal W\) ha un massimale in \(\mathcal W\): infatti, se \(\{W_i \mid i\in\lambda\}\) è una tale catena (indicizzata, senza perdita di generalità, da un ordinale $\lambda$), è facile vedere che \(\bigcup_{i\in\lambda}W_i \in\mathcal W\) perché

[*:3kyv9p93] \(U_a + \left(\bigcup_{i\in\lambda}W_i \right)\) è una somma diretta per $a=1,2$;[/*:m:3kyv9p93]
[*:3kyv9p93] \(U_1 \oplus \left(\bigcup_{i\in\lambda}W_i \right) = U_2 \oplus \left(\bigcup_{i\in\lambda}W_i \right)\)[/*:m:3kyv9p93][/list:u:3kyv9p93] entrambe le cose si dimostrano per assurdo: la prima è davvero facile, per la seconda basta osservare che se esiste un vettore \(x\in U_1\oplus \left(\bigcup_{i\in\lambda}W_i\right)\) che non sta in \(U_2\oplus \left(\bigcup_{i\in\lambda}W_i\right)\), allora \(x = u_1^{(x)} + w^{(x)}\) in modo unico (la somma è diretta), per un \(w^{(x)}\in \bigcup W_i\), che dunque sta in uno dei $W_{i_x}$ e in tutti quelli che lo contengono. Del resto allora adesso
\[
x \in U_1 \oplus W_{i_x} = U_2 \oplus W_{i_x}
\] e si ha un assurdo.

Dunque per il lemma di Zorn esiste un \(W\in\mathcal W\) massimale rispetto alla proprietà di essere tale per cui \(U_1\oplus W = U_2\oplus W\). Va ora dimostrato che questi due sottospazi sono tutto $V$; a questo fine, assume not. Allora esiste $v\in V$ che non sta in \(U_1\oplus W = U_2\oplus W\); ma allora \(W\oplus\langle v\rangle\) sta ancora in \(\mathcal W\) ed è strettamente più grande di $W$, e questo è assurdo. \(\square\)

[galles90]

Ciao Killing_buddha,
non mi sono espresso bene, cioè non ho precisato bene:

la mia domanda che mi faccio perchè va a considerare la somma \(\displaystyle U_1+U_2 \)... cioè a cosa può servire in questo esercizio... tutto qui...


poi considerando che \(\displaystyle V \) non ha dimensione finita, il sottospazio \(\displaystyle W\) è indifferenzate la sua dimensione ?

Ora se non sbaglio deve rispettare le seguenti proprietà ?

1) \(\displaystyle U_1+W=V , U_2+W=V \)
2) \(\displaystyle U_1 \cap W = 0 , U_2 \cap W= 0 \)

sono veramente in crisi