Esercizio su sistemi lineari con parametro
$\{(2x + 2y + z = a - 1),(ax + 3y - (3a - 6)z = a),((a - 2)x + (a - 2)y + z = -1):}$
salve a tutti, chiedo aiuto, perchè mi sono trovato a risolvere questo sistema lineare. Praticamente ho calcolato il rango della matrice A (matrice incompleta) e il rango della matrice B (matrice completa), utilizzando il metodo degli orlati.
il rango di A mi risulta
$>=$ 2 $AA$ $in$ $RR$
ed eseguendo poi il determinante del minore di ordine 3, che poi è la matrice A stessa mi viene un equazione di 2°grado $a^2-7*a+12=0$ che mi dà come risultato che il rango di A è = 3 $AA$ a $!=$ 3;4
Vado quindi a studiare il rango di B, per farla breve ottengo
$a^3-6*a^2+13a-12=0$
per non mettermi a risolvere l'equazione di 3° grado ho semplicemente sostituito ad a prima 3 e poi 4, per vedere come varia il rango di B, per quei due valori, che son poi quelli che mi interessano.
Ora per a=4 $=>$ rango di B = 3
per a =3 $=>$ rango di B = 2 (il determinante dei due minori di ordine 3 possibili si annulla)
Tirando le somme (utilizzando il teorema di rouché-capelli) :
- per a=3 sistema possibile con $oo$ soluzioni
- per a=4 sistema impossibile
- per a $in$$RR$-(3;4) sistema possibile e determinato
il problema è che l'esercizio mi fornisce il risultato, e per a=3 il sistema risulta impossibile. Ho fatto tre volte i conti, spero di non essere così svampito da sbagliarli tre volte di fila. Proprio non riesco a vedere cosa ho sbagliato, attendo aiuto, e ringrazio in anticipo tutti per il tempo dedicatomi.
salve a tutti, chiedo aiuto, perchè mi sono trovato a risolvere questo sistema lineare. Praticamente ho calcolato il rango della matrice A (matrice incompleta) e il rango della matrice B (matrice completa), utilizzando il metodo degli orlati.
il rango di A mi risulta
$>=$ 2 $AA$ $in$ $RR$
ed eseguendo poi il determinante del minore di ordine 3, che poi è la matrice A stessa mi viene un equazione di 2°grado $a^2-7*a+12=0$ che mi dà come risultato che il rango di A è = 3 $AA$ a $!=$ 3;4
Vado quindi a studiare il rango di B, per farla breve ottengo
$a^3-6*a^2+13a-12=0$
per non mettermi a risolvere l'equazione di 3° grado ho semplicemente sostituito ad a prima 3 e poi 4, per vedere come varia il rango di B, per quei due valori, che son poi quelli che mi interessano.
Ora per a=4 $=>$ rango di B = 3
per a =3 $=>$ rango di B = 2 (il determinante dei due minori di ordine 3 possibili si annulla)
Tirando le somme (utilizzando il teorema di rouché-capelli) :
- per a=3 sistema possibile con $oo$ soluzioni
- per a=4 sistema impossibile
- per a $in$$RR$-(3;4) sistema possibile e determinato
il problema è che l'esercizio mi fornisce il risultato, e per a=3 il sistema risulta impossibile. Ho fatto tre volte i conti, spero di non essere così svampito da sbagliarli tre volte di fila. Proprio non riesco a vedere cosa ho sbagliato, attendo aiuto, e ringrazio in anticipo tutti per il tempo dedicatomi.
Risposte
Fermiamoci un attimo.
La matrice $B$ è una $3x 4$, quindi avrà al massimo rango $3$. Ora, tu hai distinto 3 casi:
1. $a\ne 3,4$
2. $a=3$
3. $a=4$
Nell'1 anche il rango di $B$ sarà $3$, senza fare ulteriori calcoli.
Vai a vedere cosa accade negli altri 2 casi, sostituendo i rispettivi valori di $a$. Ti trovi matrici numeriche, senza alcun parametro.
Paola
La matrice $B$ è una $3x 4$, quindi avrà al massimo rango $3$. Ora, tu hai distinto 3 casi:
1. $a\ne 3,4$
2. $a=3$
3. $a=4$
Nell'1 anche il rango di $B$ sarà $3$, senza fare ulteriori calcoli.
Vai a vedere cosa accade negli altri 2 casi, sostituendo i rispettivi valori di $a$. Ti trovi matrici numeriche, senza alcun parametro.
Paola
intanto grazie 
comunque ho fatto il determinante della matrice B lasciando il parametro a, e sono poi andato a sostituire nell'equazione di 3° grado che viene fuori. Non è dunque la stessa cosa?
comunque ho fatto il determinante della matrice B lasciando il parametro a, e sono poi andato a sostituire nell'equazione di 3° grado che viene fuori. Non è dunque la stessa cosa?
Sì, è solo un metodo patacca.
Il determinante di $B$ si annulla per $a=3$. Può essere però che si ottenga un minore di ordine $3$ utilizzando la colonna dei coefficienti, dovresti controllare.
Paola
Il determinante di $B$ si annulla per $a=3$. Può essere però che si ottenga un minore di ordine $3$ utilizzando la colonna dei coefficienti, dovresti controllare.
Paola
l'ho già fatto. la matrice B ha due minori di ordine 3, uno è quello con la quale si ottiene l'equazione di terzo grado, l'altro è quello già calcolato per la matrice A. Difatti per a=3 entrambi i minori si annullano, e quindi il rango di B è uguale a 2, identico al rango di A. 3 incognite, rango uguale 2, $oo$ soluzioni. Ma la soluzione mi dice che è impossibile per a=3...
Prendi una delle soluzioni secondo il tuo metodo e verifica se soddisfa le equazioni. Se sì hai ragione tu, se no ha ragione il libro.
Paola
Paola
ho sostituito nel sistema prima a=3 e poi a=4. Per a=3 risulta che il sistema dipende da due variabili, come era intuibile dal rango=2, e per a=4 mi viene un equazione non vera, quindi il sistema è impossibile. Posso dunque dirmi soddisfatto e affermare che è sbagliata la soluzione del libro?
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