Esercizio su sistema lineare dipendente da un parametro
Salve ragazzi,
sono da un bel po' alle prese con la tipologia di esercizio seguente e non so venirne a capo, per cui ho deciso di postare qui.
Il testo è il seguente:
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro \(\displaystyle \lambda \in R \) :
\begin{cases} 2x₁+(2\lambda + 2)x₂+x₃=-1\\ 2x₁ + x₂ + x₃ + \lambda x₄ = 0\\ 2x₁ +\lambda x₂+x₃+x₄=0 \\ x₁-3x₂+x₃+(\lambda +1)x₄=2\end{cases}
a) Detta \(\displaystyle (A|B) \) la matrice completa, determinare il rango di \(\displaystyle A \) e di \(\displaystyle (A|B) \) al variare di \(\displaystyle \lambda \) .
b) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il sistema ammette un'unica soluzione.
c) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il sistema ammete infinite soluzioni.
d) Per i valori di \(\displaystyle \lambda \) trovati al punto c), determinare la soluzione generale del sistema.
Per adesso consideriamo soltanto il punto a).
Io ho provato a ridurre la matrice \(\displaystyle (A|B) \) ma devo procedere per "tentativi" e non mi sembra un metodo che possa funzionare (ovviamente correggetemi se per voi non è così).
Allora ho provato a calcolare direttamente il rango di \(\displaystyle (A|B) \) con il metodo degli orlati, ma mi vengono dei calcoli abnormi con annessi risultati un po' strani. Non vi sto a scrivere tutti i calcoli poichè non voglio saturare i database.... scherzi a parte, sono un po' lunghetti.
A questo punto, le domande sono due:
Qual è il procedimento da applicare per poter risolvere il punto a)? Riduzione? Metodo degli orlati?
Se non è nessuno di questi due e sbaglio proprio il metodo per arrivare alla soluzione, cosa bisogna fare per giungerci?
Grazie mille.
sono da un bel po' alle prese con la tipologia di esercizio seguente e non so venirne a capo, per cui ho deciso di postare qui.
Il testo è il seguente:
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro \(\displaystyle \lambda \in R \) :
\begin{cases} 2x₁+(2\lambda + 2)x₂+x₃=-1\\ 2x₁ + x₂ + x₃ + \lambda x₄ = 0\\ 2x₁ +\lambda x₂+x₃+x₄=0 \\ x₁-3x₂+x₃+(\lambda +1)x₄=2\end{cases}
a) Detta \(\displaystyle (A|B) \) la matrice completa, determinare il rango di \(\displaystyle A \) e di \(\displaystyle (A|B) \) al variare di \(\displaystyle \lambda \) .
b) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il sistema ammette un'unica soluzione.
c) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il sistema ammete infinite soluzioni.
d) Per i valori di \(\displaystyle \lambda \) trovati al punto c), determinare la soluzione generale del sistema.
Per adesso consideriamo soltanto il punto a).
Io ho provato a ridurre la matrice \(\displaystyle (A|B) \) ma devo procedere per "tentativi" e non mi sembra un metodo che possa funzionare (ovviamente correggetemi se per voi non è così).
Allora ho provato a calcolare direttamente il rango di \(\displaystyle (A|B) \) con il metodo degli orlati, ma mi vengono dei calcoli abnormi con annessi risultati un po' strani. Non vi sto a scrivere tutti i calcoli poichè non voglio saturare i database.... scherzi a parte, sono un po' lunghetti.
A questo punto, le domande sono due:
Qual è il procedimento da applicare per poter risolvere il punto a)? Riduzione? Metodo degli orlati?
Se non è nessuno di questi due e sbaglio proprio il metodo per arrivare alla soluzione, cosa bisogna fare per giungerci?
Grazie mille.
Risposte
calcolare il det della matrice 4x4 dopo aver sottratto la seconda riga alla terza i calcoli non dovrebbero essere così malvagi ma non ho voglio di farli XD però a occhio devo calcolare il det di due matrici 3x3... se po fà... quindi vedi i valori del parametro per cui det A=0 quindi sai che se il parametro è diverso da quei valori avrai una e una sola soluz... quindi poi vedi i casi specifici...probabilmente saranno 2
"psycho92":
calcolare il det della matrice 4x4 dopo aver sottratto la seconda riga alla terza i calcoli non dovrebbero essere così malvagi ma non ho voglio di farli XD però a occhio devo calcolare il det di due matrici 3x3... se po fà... quindi vedi i valori del parametro per cui det A=0 quindi sai che se il parametro è diverso da quei valori avrai una e una sola soluz... quindi poi vedi i casi specifici...probabilmente saranno 2
Non mi è ben chiaro il procedimento per risolverlo.... potresti elencarmi i passaggi (senza calcoli, ovviamente)?
Grazie, e scusami.
daiii basta calcolare il det di una 4x4, usa laplace...
"psycho92":
daiii basta calcolare il det di una 4x4, usa laplace...
Quindi non devo fare nient'altro che utilizzare normalmente il teorema degli orlati, giusto?
no... fai il determinante della matrice 4x4 non sai calcolare un det di una matrice 4x4?
"psycho92":
no... fai il determinante della matrice 4x4 non sai calcolare un det di una matrice 4x4?
Certo che lo so calcolare. Devo comunque calcolarlo per vedere il rango, no?
riesci a capire che se vedi quando il det di A matrice di coefficienti è diverso da 0 ti rimangono da studiare 2 casi?
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