Esercizio su sfere e circonferenze
ciao a tutti, avrei qualche problema con il seguente esercizio sulle sfere e le circonferenze...
sono dati
$ r1 = { ( 3x-2z+2=0 ),( 3y+z-4=0 ):} $
$ r2 = { ( x=2t ),( y=3t ),( z=-t ):} $
$ tau = (x-1)^(2) +(y-3)^(2) +(z-1)^(2)=5 $
$ pi: x+y-z-1=0 $
$ A(1,0,1) B(3,1,1) C(1,1,1) $ e devo trovare
1) eq.circonferenza contenuta in $tau$, di raggio $ sqrt(14/3) $ e tangente ad r1
2) eq circonferenza tangente nell'origine ad r2 e passante per A
3)eq sfera passante per B e tangente a $pi$ in C...
per quanto riguarda la circonferenza del primo punto chiaramente una delle due equazioni del sistema è data dalla sfera in cui è contenuta, poi però non riesco a trovre l'equazione del piano...per il resto non so come procedere...
sono dati
$ r1 = { ( 3x-2z+2=0 ),( 3y+z-4=0 ):} $
$ r2 = { ( x=2t ),( y=3t ),( z=-t ):} $
$ tau = (x-1)^(2) +(y-3)^(2) +(z-1)^(2)=5 $
$ pi: x+y-z-1=0 $
$ A(1,0,1) B(3,1,1) C(1,1,1) $ e devo trovare
1) eq.circonferenza contenuta in $tau$, di raggio $ sqrt(14/3) $ e tangente ad r1
2) eq circonferenza tangente nell'origine ad r2 e passante per A
3)eq sfera passante per B e tangente a $pi$ in C...
per quanto riguarda la circonferenza del primo punto chiaramente una delle due equazioni del sistema è data dalla sfera in cui è contenuta, poi però non riesco a trovre l'equazione del piano...per il resto non so come procedere...
Risposte
Per il punto 1) ci sto pensando e non mi viene nulla in mente che non sia complicato.
2) considera la retta $t$ per $O$ perpendicolare a $r_2$. Su questa retta si trova il centro $C$. Imponendo che $d(C,A)=d(C,O)$ ottieni il centro $C$.
Inoltre puoi considerare $pi=[A,O,C]$ il piano della circonferenza ed intersecarlo con la sfera di egual raggio ed ugual centro.
3) Considera la retta per $C$ perpendicolare a $pi$. Imponendo come prima che $d(Q,B)=d(Q,C)$ dove $Q$ sarà il centro della nostra sfera, troverai $Q$ e $d(Q,B)$ sarà uguale proprio al raggio della sfera.
2) considera la retta $t$ per $O$ perpendicolare a $r_2$. Su questa retta si trova il centro $C$. Imponendo che $d(C,A)=d(C,O)$ ottieni il centro $C$.
Inoltre puoi considerare $pi=[A,O,C]$ il piano della circonferenza ed intersecarlo con la sfera di egual raggio ed ugual centro.
3) Considera la retta per $C$ perpendicolare a $pi$. Imponendo come prima che $d(Q,B)=d(Q,C)$ dove $Q$ sarà il centro della nostra sfera, troverai $Q$ e $d(Q,B)$ sarà uguale proprio al raggio della sfera.
ciao, grazie della risposta...
per il punto 3) perfetto, mi viene!
per quanto riguarda il punto 2 invece ti posto i calcoli che ho fatto perchè non mi viene...
allora la retta $ t $ mi viene: $ { ( x=-t ),( y=t),( z=t ):} $
ora imponendo che le due distanze siano uguali ho:
$ (x-1)^(2) +y^(2) + (z-1)^(2) = x^(2)+y^(2)+z^(2) $ quindi svolgendo i calcoli ottengo
$ -x-z+1=0 $ ora poichè $ C $ appartiene a $ t $ allora sostituisco $ -t $ e $ t $ al posto di $ x $ e $ z $ ma così facendo mi viene
$ 2=0 $
dove ho sbagliato?
per il punto 3) perfetto, mi viene!
per quanto riguarda il punto 2 invece ti posto i calcoli che ho fatto perchè non mi viene...
allora la retta $ t $ mi viene: $ { ( x=-t ),( y=t),( z=t ):} $
ora imponendo che le due distanze siano uguali ho:
$ (x-1)^(2) +y^(2) + (z-1)^(2) = x^(2)+y^(2)+z^(2) $ quindi svolgendo i calcoli ottengo
$ -x-z+1=0 $ ora poichè $ C $ appartiene a $ t $ allora sostituisco $ -t $ e $ t $ al posto di $ x $ e $ z $ ma così facendo mi viene
$ 2=0 $
dove ho sbagliato?
Ho sbagliato io. $r_2$ è una retta non un piano, pardon.
Il piano della circonferenza sarà il piano contenente $r_2$ ed $A$. A questo punto considera la retta che giace su questo piano per $O$ perpendicolare $r_2$. Il centro giacerà su questa retta (ottenuta dall'intersezione del piano della circonferenza con il piano per $O$ perpendicolare $r_2$). Imponendo che la distanza $d(C,A)=d(C,O)$ ottieni il centro e la distanza sarà il raggio $r$.
Scusami avevo letto male
Per il punto 1) ci penso più tardi!
Il piano della circonferenza sarà il piano contenente $r_2$ ed $A$. A questo punto considera la retta che giace su questo piano per $O$ perpendicolare $r_2$. Il centro giacerà su questa retta (ottenuta dall'intersezione del piano della circonferenza con il piano per $O$ perpendicolare $r_2$). Imponendo che la distanza $d(C,A)=d(C,O)$ ottieni il centro e la distanza sarà il raggio $r$.
Scusami avevo letto male
Per il punto 1) ci penso più tardi!
ok, anche il punto 2) è a posto!! grazie mille!
Per la 1) non sono riuscito a trovare una soluzione "bella".
Considera la circonferenza massima della sfera e sia $t$ la retta per $C$, centro della sfera, perpendicolare al piano.
Il centro sicuramente giacerà su questa retta. Io imporrei che la distanza da $r_1$ sia questa ottenendo così il centro della nostra sfera.
Il piano che ci serve per costruire la circonferenza sarà $alpha$ contente $r_1$ ed il centro della sfera.
Prova un pò a vedere, è la prima idea che m'è venuta
PS Così provando ad immaginare dire che la retta luogo dei centri delle circonferenze contenute in $tau$ è perpendicolare a $r_1$. Inoltre $r_1$ deve essere tangente alla sfera, altrimenti tale circonferenza non esisterebbe.
Considera la circonferenza massima della sfera e sia $t$ la retta per $C$, centro della sfera, perpendicolare al piano.
Il centro sicuramente giacerà su questa retta. Io imporrei che la distanza da $r_1$ sia questa ottenendo così il centro della nostra sfera.
Il piano che ci serve per costruire la circonferenza sarà $alpha$ contente $r_1$ ed il centro della sfera.
Prova un pò a vedere, è la prima idea che m'è venuta
PS Così provando ad immaginare dire che la retta luogo dei centri delle circonferenze contenute in $tau$ è perpendicolare a $r_1$. Inoltre $r_1$ deve essere tangente alla sfera, altrimenti tale circonferenza non esisterebbe.
ho capito l'idea in generale però ho qualche difficoltà ad impostare i calcoli...ad esempio come faccio a scrivere l'equazione della retta perpendicolare al piano se il piano non ce l'ho?
L'idae francamente a me non pare funzionare troppo, è molto macchinosa. Sicuramente c'è un'idea più semplice... provo a pensarci ancora un pò!
ok...grazie!
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