Esercizio su rappresentazione matriciale di applicazione lin

[Alexiei1]

Allora, vi posto il testo di un esercizio di cui non ho capito il metodo di risoluzione:

Sia f $in$ End($RR$$^3$ ) / :

f$((1),(3),(5))$ = $((2),(0),(1))$

f$((2),(-1),(2))$ = $((1),(1),(1))$

f$((0),(1),(1))$ = $((0),(3),(-1))$


Vogliamo determinare $A$ $in$ $RR$$(3)$ tale che $AA$ $X$ $in$ $RR$$^3$ si abbia:

f(X) = AX


Svolgimento:

Viene provato che B= ( $((1),(3),(5))$, $((2),(-1),(2))$ , $((0),(1),(1))$ ) è una base $RR$$^3$.
Prendendo C= base standard di $RR$$^3$, posso scrivere la rappresenzazione matriciale dell'applicazione come:

$M_B^C$ (f) = ( $((2),(0),(1))$ , $((1),(1),(1))$ ,$((0),(3),(-1))$ )

Adesso qui sul libro mi dice:

$A$ $=$ $M_C^C$$(f)$ [PERCHE' ?]

e per calcolarlo devo utilizzare la : $M_C^C$$(f)$ = $M_B^C$$(f)$ * $M_C^B$$($I_$RR$$)$ [PERCHE' ?]

Domanda: 1) Da dove viene questa espressione per il calcolo di A?? Non riesco a capire da dove deriva.
2) Se f(X)= XA in questo caso A= ? Perchè non mi torna di sicuro che $A$ $=$ $M_C^C$$(f)$.


Grazie spero di essere stato chiaro e vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione.

[cirasa]

Prendi una matrice $A$ a coefficienti reali 3 per 3 (in realtà vale per $n$ generico) e considera l'endomorfismo $f:RR^3\to RR^3$ tale che $f(x)=Ax$.
Se calcoliamo la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ otteniamo nient'altro che...la matrice $A$!! (prova a verificarlo, se ci sono problemi ti scrivo nel dettaglio perchè)

Nel tuo caso, hai $f$ tale che $f(x)=Ax$. La matrice associata ad $f$ nella base canonica è $A$, cioè $M_C^C(f)=A$.

Spero di aver chiarito il tuo dubbio.

[waind]

Ciao, Posso provare a rispondere alla tua prima domanda.
$A$ è la matrice di cambiamento di base ed è costruita sulla base canonica $(e_1,e_2,e_3)$,
Infatti $M_{cb} * M_{bc}$ ti porta proprio ad ottenere $M_{cc}$ dove $M_{cb}$ è la matrice dei vettori della base b rispetto alla base canonica, mentre la matrice $M_{bc}$ è la matrice dei vettori della base canonica rispetto alla base b.
Per ricavarti $M_{cb}$ ti basta calcolare $(M_{bc})^{-1}$

[cirasa]

"Alexiei":
e per calcolarlo devo utilizzare la : $M_C^C$$(f)$ = $M_B^C$$(f)$ * $M_C^B$$($I_$RR$$)$ [PERCHE' ?]

C'è anche questa domanda. Questa è una conseguenza di una proprietà delle matrici associate ad applicazioni lineari. Ti enuncio la proprietà in questione.

$V,W,T$ spazi vettoriali di dimensione finita. $g:V\to W$, $f:W\to T$ lineari. $c$, $d$, $e$ basi rispettivamente di $V,W,T$. Siano
$A=M_d^e(f)$ matrice associata ad $f$ rispetto a $d$ e a $e$.
$B=M_c^d(g)$ matrice associata ad $g$ rispetto a $c$ e a $d$.
$C=M_c^e(f\circ g)$ matrice associata ad $f\circ g$ rispetto a $c$ e a $e$.
Allora $C=AB$, cioè $C=M_c^e(f\circ g)=M_d^e(f)\cdot M_c^d(g)$.
(Spero di non aver commesso errori di indice!)

Ciò che vuoi provare si ottiene prendendo $V=W=T=RR^3$, $g=id$ dove $id$ è l'identità su $RR^3$, $c=e$ base canonica di $RR^3$.


P.S. Scusa "waind" non avevo visto che avevi risposto anche tu...

[franced]

"Alexiei":Sia f $in$ End($RR$$^3$ ) / :

f$((1),(3),(5))$ = $((2),(0),(1))$

f$((2),(-1),(2))$ = $((1),(1),(1))$

f$((0),(1),(1))$ = $((0),(3),(-1))$


Vogliamo determinare $A$ $in$ $RR$$(3)$ tale che $AA$ $X$ $in$ $RR$$^3$ si abbia:

f(X) = AX

Prendi la base canonica e cerca di scrivere ciascun vettore come combinazione
lineare della base formata dai vettori

$((1),(3),(5))$ , $((2),(-1),(2))$ , $((0),(1),(1))$

si trova che

$((1),(0),(0)) = (-3) * ((1),(3),(5)) + (2) * ((2),(-1),(2)) + (11) * ((0),(1),(1))$

$((0),(1),(0)) = (-2) * ((1),(3),(5)) + (1) * ((2),(-1),(2)) + (8) * ((0),(1),(1))$

$((0),(0),(1)) = (2) * ((1),(3),(5)) + (-1) * ((2),(-1),(2)) + (-7) * ((0),(1),(1))$

applico $f$ e sfrutto la linearità:

$f ((1),(0),(0)) = (-3) * f ((1),(3),(5)) + (2) * f ((2),(-1),(2)) + (11) * f ((0),(1),(1))$

$f ((0),(1),(0)) = (-2) *f ((1),(3),(5)) + (1) * f ((2),(-1),(2)) + (8) * f ((0),(1),(1))$

$f ((0),(0),(1)) = (2) * f ((1),(3),(5)) + (-1) * f ((2),(-1),(2)) + (-7) * f ((0),(1),(1))$

quindi

$f ((1),(0),(0)) = (-3) * ((2),(0),(1)) + (2) * ((1),(1),(1)) + (11) * ((0),(3),(-1))$

$f ((0),(1),(0)) = (-2) * ((2),(0),(1)) + (1) * ((1),(1),(1)) + (8) * ((0),(3),(-1))$

$f ((0),(0),(1)) = (2) * ((2),(0),(1)) + (-1) * ((1),(1),(1)) + (-7) * ((0),(3),(-1))$

svolgendo abbiamo:

$f ((1),(0),(0)) = ((-4),(35),(-12))$

$f((0),(1),(0)) = ((-3),(25),(-9))$

$f((0),(0),(1)) = ((3),(-22),(8))$

in definitiva la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica è

$A = ((-4,-3,3),(35,25,-22),(-12,-9,8))$ .