Esercizio su "costruzione" di un prodotto scalare
Buon pomeriggio a tutti.
Ho diversi dubbi su questo esercizio, spero che qualcuno possa aiutarmi!
Testo:
Costruire, se esiste, un prodotto scalare non degenere $b$ su $R^4$ tale che:
1) l'indice di negatività di $b$ sia $1$;
2) il vettore $z = (1,2,-1,0)$ sia isotropo;
3) la restrizione di $b$ all'ortogonale (rispetto a $b$) del sottospazio $W = {(x,y,z,t) in R^4 | x-z = 0, y + t = 0}$ sia definita positiva.
Ho un po' di problemi riguardanti l'ortogonale di qualcosa che non ho ancora definito.
Io ho ragionato in questo modo: siccome $b$ è non degenere, l'ortogonale di $W$ è in somma diretta con $W$. Quindi per prima cosa estendo una base di $W$ a base di $R^4$.
$W$, per come è definito, ha per base $Bw = {(1,0,1,0), (0,-1,0,1)}$. Un suo completamento a base di $R^4$ è dato dai vettori $v1 = (1,0,-1,0)$ e $v2 = (0,1,0,1)$. (Tra l'altro secondo me era inutile definirli, bastava dire "prendo due vettori che, insieme ai vettori della base $Bw$, sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $R^4$).
E' qui il mio dubbio, ovvero io per continuare l'esercizio ho "imposto" che lo spazio generato da quei vettori fosse proprio l'ortogonale di $W$.
Ora prendo $v1$ e $v2$ e li estendo a base di $R^4$ in questo modo: intanto ci aggiungo $z$, che è linearmente indipendente quindi posso farlo, inoltre ci aggiungo un quarto vettore anch'esso indipendente completamente a caso, per esempio
$v3 = (0,0,1,1).
Ora che ho una base di $R^4$ così formata $B = {v1, v2, z, v3}$ scrivo la matrice associata la prodotto scalare in questo modo (tenendo conto dei 3 punti dell'esercizio):
$M = ((1 0 0 0),(0 1 0 0),(0 0 0 1),(0 0 1 0))
E' giusto l'esercizio impostato in questo modo?
Grazie infinite.
Ho diversi dubbi su questo esercizio, spero che qualcuno possa aiutarmi!
Testo:
Costruire, se esiste, un prodotto scalare non degenere $b$ su $R^4$ tale che:
1) l'indice di negatività di $b$ sia $1$;
2) il vettore $z = (1,2,-1,0)$ sia isotropo;
3) la restrizione di $b$ all'ortogonale (rispetto a $b$) del sottospazio $W = {(x,y,z,t) in R^4 | x-z = 0, y + t = 0}$ sia definita positiva.
Ho un po' di problemi riguardanti l'ortogonale di qualcosa che non ho ancora definito.
Io ho ragionato in questo modo: siccome $b$ è non degenere, l'ortogonale di $W$ è in somma diretta con $W$. Quindi per prima cosa estendo una base di $W$ a base di $R^4$.
$W$, per come è definito, ha per base $Bw = {(1,0,1,0), (0,-1,0,1)}$. Un suo completamento a base di $R^4$ è dato dai vettori $v1 = (1,0,-1,0)$ e $v2 = (0,1,0,1)$. (Tra l'altro secondo me era inutile definirli, bastava dire "prendo due vettori che, insieme ai vettori della base $Bw$, sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $R^4$).
E' qui il mio dubbio, ovvero io per continuare l'esercizio ho "imposto" che lo spazio generato da quei vettori fosse proprio l'ortogonale di $W$.
Ora prendo $v1$ e $v2$ e li estendo a base di $R^4$ in questo modo: intanto ci aggiungo $z$, che è linearmente indipendente quindi posso farlo, inoltre ci aggiungo un quarto vettore anch'esso indipendente completamente a caso, per esempio
$v3 = (0,0,1,1).
Ora che ho una base di $R^4$ così formata $B = {v1, v2, z, v3}$ scrivo la matrice associata la prodotto scalare in questo modo (tenendo conto dei 3 punti dell'esercizio):
$M = ((1 0 0 0),(0 1 0 0),(0 0 0 1),(0 0 1 0))
E' giusto l'esercizio impostato in questo modo?
Grazie infinite.
Risposte
"borador":Sicuro?
...Un suo completamento a base di $R^4$ è dato dai vettori $v1 = (1,0,-1,0)$ e $v2 = (0,-1,0,1)$...
No, hai ragione ho sbagliato a scrivere. Volevo dire $v2 = (0,1,0,1)$
Grazie!
Per il resto?
Grazie!
Per il resto?
Non capisco da dove prende quella matrice con quella base determinata!
Al di là che essa sia corretta o meno!
Al di là che essa sia corretta o meno!
Intanto ti ringrazio tanto che segui il mio post!
Comunque, la matrice l'ho creata io! E' proprio quello l'esercizio, creare un prodotto scalare... E io lo creo creando la sua matrice associata a quella base che ti ho descritto!
Comunque, la matrice l'ho creata io! E' proprio quello l'esercizio, creare un prodotto scalare... E io lo creo creando la sua matrice associata a quella base che ti ho descritto!
Bene, non resta che una domanda: i conti ti tornano? Se sì: hai concluso! Sottolineo che devono essere soddisfatte tutt'e 3 le richieste.
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
Il fatto è che non posso essere sicuro, proprio perché l'ho costruito io! Cioè, l'ho costruito giusto (secondo me!), per cui non può che essere giusto!
L'unica cosa è che non sono sicuro se posso fare quella specie di trucco di dire "ok, siccome so che W è in somma diretta col suo ortogonale, allora mi basta prendere un suo completamento e DECIDERE che sia proprio il suo ortogonale tramite il mio prodotto scalare... Capito che intendo?
L'unica cosa è che non sono sicuro se posso fare quella specie di trucco di dire "ok, siccome so che W è in somma diretta col suo ortogonale, allora mi basta prendere un suo completamento e DECIDERE che sia proprio il suo ortogonale tramite il mio prodotto scalare... Capito che intendo?
"borador":Se il complemento scelto è ortogonale a [tex]$W$[/tex] secondo [tex]$b$[/tex] dov'è ancora il tuo dubbio? Hai fatto i controlli?
..."ok, siccome so che W è in somma diretta col suo ortogonale, allora mi basta prendere un suo completamento e DECIDERE che sia proprio il suo ortogonale tramite il mio prodotto scalare"...
Sisi! ok allora, sto più tranquillo.. eheh.
Grazie infinite.
Grazie infinite.
Prego, di nulla! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo