Esercizio su prodotto scalare
salve a tutti. devo risolvere questo problema:
Si consideri la matrice simmetrica A = $ ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ) :}) $ e sia $ * $ il prodotto scalare in $ RR ^(3) $ associato ad A.
1) per $ AA x,y in RR ^(3) $ si determinino x $ * $ y e x $ * $ x.
2) si determini una base ortogonale di $ RR ^ 3 $.
3) si determini il tipo di definizione di A (prodotto scalare definito positivo, semidefinito positivo, ecc...)
4) si determini ( $ RR ^3 $ ) ortogonale.
per quanto riguarda il primo punto, io so che x $ * $ y = $ sum_(i,j = 1)^(3) $ $ a_(ij) $ $x_i $ $ y_j $ = $ x_1 $ $ y_1 $ - ($ x_2 $ $ y_3 $ + $ x_3 $ $ y_2 $) e x $ * $ x = $ ($ x_1 $) ^(2) $ - ( $ x_2 $ $ y_3 $ + $ x_3 $ $ y_2 $ ).
ammesso e non concesso che abbia fatto bene questo punto, come si risolvono gli altri??
Si consideri la matrice simmetrica A = $ ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ) :}) $ e sia $ * $ il prodotto scalare in $ RR ^(3) $ associato ad A.
1) per $ AA x,y in RR ^(3) $ si determinino x $ * $ y e x $ * $ x.
2) si determini una base ortogonale di $ RR ^ 3 $.
3) si determini il tipo di definizione di A (prodotto scalare definito positivo, semidefinito positivo, ecc...)
4) si determini ( $ RR ^3 $ ) ortogonale.
per quanto riguarda il primo punto, io so che x $ * $ y = $ sum_(i,j = 1)^(3) $ $ a_(ij) $ $x_i $ $ y_j $ = $ x_1 $ $ y_1 $ - ($ x_2 $ $ y_3 $ + $ x_3 $ $ y_2 $) e x $ * $ x = $ ($ x_1 $) ^(2) $ - ( $ x_2 $ $ y_3 $ + $ x_3 $ $ y_2 $ ).
ammesso e non concesso che abbia fatto bene questo punto, come si risolvono gli altri??
Risposte
2) puoi diagonalizzare, oppure applicare Gram-Schimdt
3) non so cosa sia un prodotto scalare semidefinito positivo? Esiste?!
4) cerca i vettori ortogonali rispetto a tutti i vettori di base di $RR^3$
3) non so cosa sia un prodotto scalare semidefinito positivo? Esiste?!
4) cerca i vettori ortogonali rispetto a tutti i vettori di base di $RR^3$
ho provato a risolvere 2) seguendo il tuo consiglio. mi puoi dire se il procedimento è giusto?
ho cercato gli autovalori sviluppando il polinomio caratteristico e ho trovato 1 di molteplicità 2 e -1 di molteplicità 1.
gli autovettori dell'autospazio generato da 1 si trovano risolvendo (A - I)x = 0. due autovettori sono quindi $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) $ e $ ({: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :}) $ . l'autovettore dell'autospazio generato da -1 è invece $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $ .
ora devo verificare che i vettori siano ortogonali tra di loro e infatti lo sono..
una base ortogonale di $ RR^3 $ è quindi la combinazione lineare degli autovettori di A??
ho cercato gli autovalori sviluppando il polinomio caratteristico e ho trovato 1 di molteplicità 2 e -1 di molteplicità 1.
gli autovettori dell'autospazio generato da 1 si trovano risolvendo (A - I)x = 0. due autovettori sono quindi $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) $ e $ ({: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :}) $ . l'autovettore dell'autospazio generato da -1 è invece $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $ .
ora devo verificare che i vettori siano ortogonali tra di loro e infatti lo sono..
una base ortogonale di $ RR^3 $ è quindi la combinazione lineare degli autovettori di A??
stai commettendo un errore, credo anche piuttosto grave.
Un prodotto scalare è un'applicazione bilineare simmetrica definita positiva. Devi quindi diagonalizzare una forma bilineare che assolutamente non si diagonalizza come un endomorfismo. Diagonalizzare una forma bilineare vuol dire determinare una base rtogonale la cui matrice associata è diagonale.
Rileggi un attimo la teoria!
Un prodotto scalare è un'applicazione bilineare simmetrica definita positiva. Devi quindi diagonalizzare una forma bilineare che assolutamente non si diagonalizza come un endomorfismo. Diagonalizzare una forma bilineare vuol dire determinare una base rtogonale la cui matrice associata è diagonale.
Rileggi un attimo la teoria!
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