Esercizio su prodotto di matrici
Salve a tutti! Provavo a svolgere il seguente esercizio e mi chiedevo se la mia soluzione fosse corretta:
Si considerino le $X in RR^(3x2)$ tali che $ ( ( 1 , 3 , 2 ),( 2 , 5 , 3 ) )X = (( 0,0), (0,0)) $. Si provi che il loro insieme è sottospazio di $RR^(3x2)$.
Io ho provato a svolgerlo così.
$ X = ((a,b),(c,d),(e,f))$. L'insieme di queste matrici è sottospazio di $ RR^(3x2)$ se esiste il vettore nullo e sono verificate le proprietà di somma e prodotto.
Il vettore nullo esiste se $a=b=c=d=e=f=0$. Le due proprietà di somma e prodotto sono verificate:
$((a,b),(c,d),(e,f)) +((a',b'),(c',d'),(e',f')) =((a+a',b+b'),(c+c',d+d'),(e+e',f+f'))$ è verificata in quanto la matrice somma è sempre una matrice 3x2. Lo stesso per il prodotto. Quindi l'insieme delle $X$ è sottospazio di $RR^(3x2). E' corretto quello che ho fatto?Grazie per le eventuali risposte
Si considerino le $X in RR^(3x2)$ tali che $ ( ( 1 , 3 , 2 ),( 2 , 5 , 3 ) )X = (( 0,0), (0,0)) $. Si provi che il loro insieme è sottospazio di $RR^(3x2)$.
Io ho provato a svolgerlo così.
$ X = ((a,b),(c,d),(e,f))$. L'insieme di queste matrici è sottospazio di $ RR^(3x2)$ se esiste il vettore nullo e sono verificate le proprietà di somma e prodotto.
Il vettore nullo esiste se $a=b=c=d=e=f=0$. Le due proprietà di somma e prodotto sono verificate:
$((a,b),(c,d),(e,f)) +((a',b'),(c',d'),(e',f')) =((a+a',b+b'),(c+c',d+d'),(e+e',f+f'))$ è verificata in quanto la matrice somma è sempre una matrice 3x2. Lo stesso per il prodotto. Quindi l'insieme delle $X$ è sottospazio di $RR^(3x2). E' corretto quello che ho fatto?Grazie per le eventuali risposte
Risposte
"Lory_91":
Io ho provato a svolgerlo così.
$ X = ((a,b),(c,d),(e,f))$. L'insieme di queste matrici è sottospazio di $ RR^(3x2)$ se esiste il vettore nullo e sono verificate le proprietà di somma e prodotto.
Forse così stai dimostrando che $RR^{3x2}$ è un sottospazio di $RR^{3x2}$, no?
Secondo me devi prima trovare le condizioni sui valori di $a,...,f$ risolvendo il sistema scritto sopra, e poi verifichi se hai un sottospazio...
Le condizioni si trovano risolvendo quel sistema..quindi a me risultano essere: $ a+3c+2e=0$; $2a+5c+3e=0;$ $ b+3d+2f=0;$ $2b+5d+3f=0$. In conclusione procedo come fatto prima ma tenendo presente queste condizioni?
Penso di sì. Le prime due equazioni ti dovrebbero portare a scrivere, per esempio, $a$ e $c$ in funzione di $e$, e lo stesso per le altre due equazioni. Poi sostituisci nella matrice con le incognite e procedi come avevi fatto.
Per semplificare i calcoli direi che si può procedere così. Le prime due equazioni in \(\displaystyle a,c,e \) formano un sistema omogeneo di 3 incognite in due equazioni. Come è noto un tale sistema si risolve dando alle incognite valori proporzionali (con segni alterni) ai minori della matrice dei coefficienti ottenuti cancellando una colonna per volta. Poiche tale matrice è :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&3&2\\2&5&3 \end {pmatrix} \)
si può porre :
\(\displaystyle a=-p,c=p,e=-p \) con p fattore di proporzionalità.
Analogamente risulta:
\(\displaystyle b=-q,d=q,f=-q \) con q fattore di proporzionalità ,diverso in generale da p.
Pertanto la generica matrice X sara del tipo :
(A) \(\displaystyle X=\begin{pmatrix} -p&-q\\p&q\\-p&-q\end{pmatrix}\)
Ora è facile verificare che la somma di due matrici del tipo (A) è una matrice del medesimo tipo e che il prodotto di uno scalare per una matrice del tipo (A) è ancora una matrice di tipo (A) .
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&3&2\\2&5&3 \end {pmatrix} \)
si può porre :
\(\displaystyle a=-p,c=p,e=-p \) con p fattore di proporzionalità.
Analogamente risulta:
\(\displaystyle b=-q,d=q,f=-q \) con q fattore di proporzionalità ,diverso in generale da p.
Pertanto la generica matrice X sara del tipo :
(A) \(\displaystyle X=\begin{pmatrix} -p&-q\\p&q\\-p&-q\end{pmatrix}\)
Ora è facile verificare che la somma di due matrici del tipo (A) è una matrice del medesimo tipo e che il prodotto di uno scalare per una matrice del tipo (A) è ancora una matrice di tipo (A) .
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