Esercizio su potenza di matrici
Buonasera,
oggi ho svolto un mini "esonero" a risposta multipla e c'era un esercizio che non mi tornava
il fatto che mi portava fuori strada è un esercizio simile che avevo svolto a casa in cui si aveva una matrice $2 xx 2 $ strettamente triangolare che si annullava per una potenza pari all'ordine della matrice $2$ e si ha che $I_2 -A$ è invertibile e $(I_2 - A)^(-1)=I_2+A$.
Per questo non sono riuscito ad immaginare tale matrice $A$ tale che $A^3=0$.
Ho provato ad immaginare una matrice strettamente triangolare $2xx2$ la quale, dato che $A^2=0$, allora anche $A^3=0$ però qualcosa non mi tornava...
Qualcuno può aiutarmi a capire come avrei dovuto svolgere questo esercizio?
oggi ho svolto un mini "esonero" a risposta multipla e c'era un esercizio che non mi tornava
Sia $A$ una matrice $2xx2$ tale che $A^3$ sia la matrice nulla.
Allora:
(1) $A-I_2$ può non essere invertibile
(2) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A+I_2$
(3) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A^2+A+I_2$
il fatto che mi portava fuori strada è un esercizio simile che avevo svolto a casa in cui si aveva una matrice $2 xx 2 $ strettamente triangolare che si annullava per una potenza pari all'ordine della matrice $2$ e si ha che $I_2 -A$ è invertibile e $(I_2 - A)^(-1)=I_2+A$.
Per questo non sono riuscito ad immaginare tale matrice $A$ tale che $A^3=0$.
Ho provato ad immaginare una matrice strettamente triangolare $2xx2$ la quale, dato che $A^2=0$, allora anche $A^3=0$ però qualcosa non mi tornava...
Qualcuno può aiutarmi a capire come avrei dovuto svolgere questo esercizio?
Risposte
$A$ è $n xx n$ oppure $2 xx 2$?
"Vulplasir":
$A$ è $n xx n$ oppure $2 xx 2$?
Hai ragione: $A$ è $ 2 xx 2$.
Considera la matrice $A=((0,0),(0,0))$, si ha che $A^3=A^2=0$, $A-I_2=((-1,0),(0,-1))$ e $(A-I_2)^(-1)=((-1,0),(0,-1))$, pertanto nessuna tra le ipotesi $2$ e $3$ è valida, per esclusione la risposta giusta, se esiste, deve essere la $1$.
Considera la matrice $A=((0,0),(0,0))$, si ha che $A^3=A^2=0$, $A-I_2=((-1,0),(0,-1))$ e $(A-I_2)^(-1)=((-1,0),(0,-1))$, pertanto nessuna tra le ipotesi $2$ e $3$ è valida, per esclusione la risposta giusta, se esiste, deve essere la $1$.
Mhmm... capito, capito. Beh, ho fatto bene a non rispondere allora
Invece, per curiosità, il seguente esercizio:
Allora la (3) è vera in quanto multipla di $2w+v $...? Per quanto riguarda le altre non sapevo cosa rispondere
Invece, per curiosità, il seguente esercizio:
Sia $V$ spazio vettoriale e $WsubsetV$, sia $v in V$, e $w in W$ tale che $2w+v in W$
(1) $2v$ in $W$
(2) $2015v$ non appartiene a $W$
(3) $4w+2v in W$
(4) $-w+v in W$
Allora la (3) è vera in quanto multipla di $2w+v $...? Per quanto riguarda le altre non sapevo cosa rispondere
Scusa ma in questo test ci possono essere più risposte giuste? Te sai che se $W$ è un sottospazio di $V$ allora per definizione di sottospazio la $3$ è sempre vera, quindi non ti importa delle altre opzioni, dai per scontato che esistano dei casi in cui non sono vere, mentre la $3$ è sempre vera.
Ora che ci penso però, se $w$ e $(2w+v)$ appartengono a $W$, allora anche tutte le loro combinazioni lineari appartengono a $W$, quindi $-3w+2w+v=-w+v in W$
Quindi anche $2(2w+v)-4w=2v in W$
Stessa cosa per $2015v$, presumo quindi che in questo test non bisognasse scegliere la risposta giusta ma dire se erano vere o false?
"Vulplasir":
Scusa ma in questo test ci possono essere più risposte giuste? [...] , presumo quindi che in questo test non bisognasse scegliere la risposta giusta ma dire se erano vere o false?
Scusa, hai ragione; davo per scontato che bisognasse rispondere vero o falso.
"Vulplasir":
Te sai che se $W$ è un sottospazio di $V$ allora per definizione di sottospazio la $3$ è sempre vera, quindi non ti importa delle altre opzioni, dai per scontato che esistano dei casi in cui non sono vere, mentre la $3$ è sempre vera.
Ora che ci penso però, se $ w $ e $ (2w+v) $ appartengono a $ W $, allora anche tutte le loro combinazioni lineari appartengono a $ W $, quindi $ -3w+2w+v=-w+v in W $
Quindi anche $ 2(2w+v)-4w=2v in W $
Stessa cosa per $ 2015v $
Mhmm... capito! Pensavo che solo le combinazioni lineari multiple di $ (2w+v) $ potessoro stare in $W$, ma il tuo ragionamento mi ha ha fatto riflettere.
Grazie per l'aiuto!
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