Esercizio su piano in R^3

[jJjjJ1]

Ho bisogno di una conferma su degli esercizi stupidi, ma non gli ho mai fatti e volevo sapere se è giusto ciò che ho fatto.

Sia data la retta $r$ in forma cartesiana:

$ \{ x - y + z = -2 $
$ \{ 2x - y + 3z = 1 $

(a) Trovare il piano passante per $r$ e per $P = (1;1;1)$ Io ho pensato che poiché la retta in forma cartesiana è un intersezione tra piani, posso prendere il fascio di piani generato da quei due:

$ a( x - y + z +2 ) + b( 2x - y +3z -1 ) = 0 $

E imporre il passaggio per $P$ Allora ottengo $ a = -b $ ovvero il piano $ x +2z -3 = 0 $

Giusto? Altri metodi?

(b) Trovare il piano passante per $P$ ed ortogonale ad $r$ Allora io ho pensato di esprimere $r$ in forma parametrica, ottengo $X = tV + W$ con $V = (-2;-1;1)^T $ e $W = (3;5;0)^T $ Allora la normale del piano coincide con $V$ quindi posso imporre:

$ -2x -y +z = d$ e pochè deve passare per $P$ si ha $ d = -2 -1 + 1 = -2 $ Il piano allora è $ -2x -y +z = -2$

Giusto? Altri metodi?

(c) La distanza da $P$ ad $r$ ecco qui non sono sicuro, io ho pensato di trovare il vettore passante per $P$ ortogonale a $V$ semplicemente togliendo a $P$ la sua proiezione lungo $V$ ovvero:

$P^(') = P - \frac{P*V}{V} V = (1/3;2/3;4/3) $

E poi calcolare $ || P^(') || = sqrt{\frac{7}{3}} $

Giusto? Altri metodi?

[kobeilprofeta]

Io per il primo avrei messo r in forma parametrica e trovato la sua direzione. Poi avrei imposto che il piano avesse una direzione uguale a quella, e l'altra tale che passi per P...

[Sk_Anonymous]

Un metodo alternativo può essere il seguente.
Si scelgono su r due punti $P_1,P_2$ e poi si calcola la distanza d come altezza del parallelogramma $P_oP_1P_2C$
rispetto alla base $P_2-P_1$. Ne segue che :
$d=\frac{|(P_o-P_1)∧(P_2-P_1)|}{|P_2-P_1|}$
Nel tuo caso risulta $P_o=(1,1,1)$ mentre per gli altri punti possiamo scegliere : $P_1(1,4,1),P_2(3,5,0)$
Facendo i calcoli relativi ( che lascio a te) ne viene che : $d=1/2\sqrt{30}$
P.S. Il simbolo "∧" è quello di prodotto vettore mentre il simbolo "||" indica il modulo di una certa grandezza ( ad es. di un vettore, come è nel nostro caso)