Esercizio su parabola
Ho il seguente esercizio:
Nel piano ampliato e complessificato stabilire se esistono,ed eventualmente determinarle,parabole passanti per $P=(0,-4,1)$ , $Q=(1,3,0)$ e tangenti in $R=(2,1,1)$ alla retta di equazione $3Y-X-T=0$
Io ho ragionato in questo modo,ditemi se e dove ho sbagliato:
trovo il fascio di coniche passanti per $P,Q$ e tangenti in $R$ a $3Y-X-T=0$ formato dalle due coniche degeneri così formate:
1a conica degenere) formata da $3Y-X-T=0$ e la retta per $P e Q$ che ha equazione $Y-3X+4T=0$
per cui la prima conica degenere sarà così formata:
$(3Y-X-T)(Y-3X+4T)=0$
2a conica degenere) formata dalle rette per $R e P$ e $R e Q$
per $RP$ ha equazione omogenea:
$2Y-5X+8T=0$
per $RQ$ ha equazione omogenea:
$Y-3X+5T=0$
per cui la seconda conica degenere sarà così formata:
$(2Y-5X+8T)(Y-3X+5T)=0$
per cui il fascio di coniche dalle due sopra trovare sarà:
$(3Y-X-T)(Y-3X+4T)+a(2Y-5X+8T)(Y-3X+5T)=0$
da cui salvo errori di calcolo si trova:
$(3+15a)X^2+(3+2a)Y^2+(-10-11a)XY+(-1-49a)XT+(21+8a)YT+(-4+40a)T^2=0$
cercando una parabola in esso devo imporre che il delta di essa intersecata con la retta impropria $T=0$ debba essere uguale a zero:
$Delta=a_12^2-a_11a_22=91a^2+59a+91=0$
da cui trovo:
$a=(-59+-isqrt(29643))/182$
per cui non si hanno parabole reali ma una coppia di parabole immaginarie date per i valori di $a$ appena trovati
Lo so che è rognoso per voi andare a controllare la correttezza ma vi prego è molto importante sapere se ho sbagliato qualcosa nel procedimento dell'esercizio
quindi spero in una risposta...ciao,vi ringrazio!
Nel piano ampliato e complessificato stabilire se esistono,ed eventualmente determinarle,parabole passanti per $P=(0,-4,1)$ , $Q=(1,3,0)$ e tangenti in $R=(2,1,1)$ alla retta di equazione $3Y-X-T=0$
Io ho ragionato in questo modo,ditemi se e dove ho sbagliato:
trovo il fascio di coniche passanti per $P,Q$ e tangenti in $R$ a $3Y-X-T=0$ formato dalle due coniche degeneri così formate:
1a conica degenere) formata da $3Y-X-T=0$ e la retta per $P e Q$ che ha equazione $Y-3X+4T=0$
per cui la prima conica degenere sarà così formata:
$(3Y-X-T)(Y-3X+4T)=0$
2a conica degenere) formata dalle rette per $R e P$ e $R e Q$
per $RP$ ha equazione omogenea:
$2Y-5X+8T=0$
per $RQ$ ha equazione omogenea:
$Y-3X+5T=0$
per cui la seconda conica degenere sarà così formata:
$(2Y-5X+8T)(Y-3X+5T)=0$
per cui il fascio di coniche dalle due sopra trovare sarà:
$(3Y-X-T)(Y-3X+4T)+a(2Y-5X+8T)(Y-3X+5T)=0$
da cui salvo errori di calcolo si trova:
$(3+15a)X^2+(3+2a)Y^2+(-10-11a)XY+(-1-49a)XT+(21+8a)YT+(-4+40a)T^2=0$
cercando una parabola in esso devo imporre che il delta di essa intersecata con la retta impropria $T=0$ debba essere uguale a zero:
$Delta=a_12^2-a_11a_22=91a^2+59a+91=0$
da cui trovo:
$a=(-59+-isqrt(29643))/182$
per cui non si hanno parabole reali ma una coppia di parabole immaginarie date per i valori di $a$ appena trovati
Lo so che è rognoso per voi andare a controllare la correttezza ma vi prego è molto importante sapere se ho sbagliato qualcosa nel procedimento dell'esercizio
quindi spero in una risposta...ciao,vi ringrazio!
Risposte
guardando un esempio sul mio libro mi consiglia di procedere così:
poichè la conica cercata è una parabola,essa appartiene al fascio di coniche bitangenti alla retta $3Y-X-T=0$ in R di equazione cartesiana $3y-x-1=0$
per cui essa sarà una conica appartenente al fascio composto da:
1a conica degenere formata dalla retta $3X-X-T=0$ e dalla retta impropria $T=0$
2a conica la retta $(R,Q)$ contata due volte quindi $y-3x+5=0
per cui il fascio è:
$a(3y-x-1)+(y-3x+5)^2=0$
da cui salvo conti errati si ha:
$9x^2+y^2-6xy-(30+a)x+(10+3a)y+25-a=0$
imponendo il passaggio per $P=(0,-4,1)$ che in coordinate cartesiane essendo un punto proprio è $P=(0,-4)$ e si ha:
$a=-1/13$
per cui la parabola cercata è:
$9x^2+y^2-6xy-389/13x+127/13y+326/13=0$
$117x^2+13y^2-389x+127y+326=0$
almeno questa è corretta?
poichè la conica cercata è una parabola,essa appartiene al fascio di coniche bitangenti alla retta $3Y-X-T=0$ in R di equazione cartesiana $3y-x-1=0$
per cui essa sarà una conica appartenente al fascio composto da:
1a conica degenere formata dalla retta $3X-X-T=0$ e dalla retta impropria $T=0$
2a conica la retta $(R,Q)$ contata due volte quindi $y-3x+5=0
per cui il fascio è:
$a(3y-x-1)+(y-3x+5)^2=0$
da cui salvo conti errati si ha:
$9x^2+y^2-6xy-(30+a)x+(10+3a)y+25-a=0$
imponendo il passaggio per $P=(0,-4,1)$ che in coordinate cartesiane essendo un punto proprio è $P=(0,-4)$ e si ha:
$a=-1/13$
per cui la parabola cercata è:
$9x^2+y^2-6xy-389/13x+127/13y+326/13=0$
$117x^2+13y^2-389x+127y+326=0$
almeno questa è corretta?
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