Esercizio su omomorfismo

[Valery Beauchamp]

Ho il seguente esercizio:

Se la matrice A= $((1,3),(2,0),(0,4))$ rappresenta un omomorfismo da $RR^2$ a $RR^3$ nelle basi $B=[(1,1);(3,1)]$ e $B'=[(1,0,3);(0,0,2);(0,1,1)]$ , qual è l'immagine della generica coppia $(x,y)$ $in$ $RR^2$ tramite tale applicazione f?


Allora, io ho ragionato così:

prendo gli elementi della matrice A e mi moltiplico per i e vettori della base $B'$ in modo da ricavare i due vettori immagine di $f(1,1)$ e $f(3,1)$ cioè:

$1 (1,0,3) + 2 (0,0,2) + 0 (0,1,1) = (a,b,c) = (1,0,7)$

$3 (1,0,3) + 0 (0,0,2) + 4 (0,1,1) = (a,b,c) = (3,4,13)$

quindi :

$f(1,1)=(1,0,7)$

$f(3,1)=(3,4,13)$

praticamente ho quasi finito, ma non riesco a capire come arrivare alla generica coppia che sara la seguente:

$f(x,y)=(x, 2x-2y, 3x+4y)$

mi potete aiutare?

p.s. se ho scritto cavolate ditelo pure, gli omomorfismi non mi entrano proprio intesta e ogni consiglio è ben accetto

[Valery Beauchamp]

Credo di aver capito:

Calcolo le immagini della base canonica in $RR^2$

$f(1,0)=(1,2,3)$

$f(0,1)=(0,-2,4)$

e poi semplicemente:

$f(x,y)=x(1,2,3)+y(0,-2,4)$

e viene fuori il risultato del libro.

In realtà non mi veniva xchè avevo calcolato in maniera diversa le immagini della base canonica per cui avevo altre due terne, ma quindi, nuova domanda, in base a cosa io decido come calcolare tali immagini? perchè calcolavo per primo f(1,0) e mi veniva (2,4,5) e poi l'altro veniva di riflesso (-1,-4,2) e quindi non mi trovavo, poi ho provato a calcolare prima f(0,1) e poi l'altro e invece mi viene.