Esercizio su nucleo e immagine
Salve ragazzi...svolgendo questo esercizio ad un certo punto mi fermo poichè non come gestire la situazione. Vi scrivo la traccia e poi vi dico come l'ho impostato:
Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine dell'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 tale che f((x,y,z,t))=(x-z,-x+z,6y+2t). Dire se tale applicazione è iniettiva e se è suriettiva.
Io innanzitutto per trovare il nucleo,ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però poi mi blocco visto che mi ritrovo una riga nulla e non so come gestirla. Come faccio? Grazie
Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine dell'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 tale che f((x,y,z,t))=(x-z,-x+z,6y+2t). Dire se tale applicazione è iniettiva e se è suriettiva.
Io innanzitutto per trovare il nucleo,ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però poi mi blocco visto che mi ritrovo una riga nulla e non so come gestirla. Come faccio? Grazie
Risposte
"Mikbro":
ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però poi mi blocco visto che mi ritrovo una riga nulla e non so come gestirla.
quale sistema? senza faccio fatica a capire cosa tu intenda.
se quello che intendi è che, dopo aver usato Gauss, ti si annullano tutte le righe eccetto una (che non mi sembra però questo il caso dell'esercizio) significa solo che hai una sola variabile che dipende dalle altre che invece sono tutti parametri liberi. per esempio ti riducessi ad un sistema del tipo:
$ x-z-y+t=0 $
significa solo che per esempio una soluzione è $x=z+y-t$ dove z,y,t variano a piacere in $RR$
ad ogni modo per trovare la base del nucleo dell'operatore assegnato basta porre a zero le equazioni che definiscono l'applicazione lineare. in particolare devi risolvere il sistema:
$ { ( x-z=0 ),( z-x=0 ),( 6y+2t=0 ):} $
risolto (senza bisogno di usare Gauss) ottengo per esempio:
$ { ( x=z ),( t=-3y ),( z in RR ),(y in RR):} $
quindi in generale un vettore del nucleo è generato dal vettore $(z,y,z,-3y)$. sapresti continuare ora?
"cooper":
[quote="Mikbro"]ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però poi mi blocco visto che mi ritrovo una riga nulla e non so come gestirla.
quale sistema? senza faccio fatica a capire cosa tu intenda.
se quello che intendi è che, dopo aver usato Gauss, ti si annullano tutte le righe eccetto una (che non mi sembra però questo il caso dell'esercizio) significa solo che hai una sola variabile che dipende dalle altre che invece sono tutti parametri liberi. per esempio ti riducessi ad un sistema del tipo:
$ x-z-y+t=0 $
significa solo che per esempio una soluzione è $x=z+y-t$ dove z,y,t variano a piacere in $RR$
ad ogni modo per trovare la base del nucleo dell'operatore assegnato basta porre a zero le equazioni che definiscono l'applicazione lineare. in particolare devi risolvere il sistema:
$ { ( x-z=0 ),( z-x=0 ),( 6y+2t=0 ):} $
risolto (senza bisogno di usare Gauss) ottengo per esempio:
$ { ( x=z ),( t=-3y ),( z in RR ),(y in RR):} $
quindi in generale un vettore del nucleo è generato dal vettore $(z,y,z,-3y)$. sapresti continuare ora?[/quote]
ok e quindi così ho trovato la base per il nucleo...poi come faccio per l'immagine e la dim ?
si ma hai capito perchè ho fatto quello che ho fatto? altrimenti ha poco senso risolvere l'esercizio (anche perchè dovresti proporre una tua risoluzione anche parziale).
immagine:
base:
basta scrivere la matrice associata all'operatore. studiando un poco di teoria scoprirai che le colonne della matrice rappresentativa sono un sistema di generatori per l'immagine. a questo punto basta capire quali colonne sono tra loro indipendenti (estrai quindi una base dal sistema di generatori). le colonne che sono l.i. sono quindi una base. sai dire perchè?
dimensione:
ci sono due modi. o col teorema di nullità+rango visto che già abbiamo la dimensione del ker oppure usualmente con la cardinalità di una base dell'immagine.
a questo punto: f è iniettiva/suriettiva? perchè?
immagine:
base:
basta scrivere la matrice associata all'operatore. studiando un poco di teoria scoprirai che le colonne della matrice rappresentativa sono un sistema di generatori per l'immagine. a questo punto basta capire quali colonne sono tra loro indipendenti (estrai quindi una base dal sistema di generatori). le colonne che sono l.i. sono quindi una base. sai dire perchè?
dimensione:
ci sono due modi. o col teorema di nullità+rango visto che già abbiamo la dimensione del ker oppure usualmente con la cardinalità di una base dell'immagine.
a questo punto: f è iniettiva/suriettiva? perchè?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo