Esercizio su matrici ortogonali
Ciao a tutti!
Stavo affrontando un esercizio riguardante le matrici ortogonali. La traccia è la seguente:
Sia $H$ una matrice ortogonale; si provi che le righe di $H$ costituiscono una base ortonormale di $RR^n$ (descritto per righe).
Non so da dove posso cominciare per la risoluzione dell'esercizio. Qualcuno può darmi una mano? Grazie in anticipo!
Stavo affrontando un esercizio riguardante le matrici ortogonali. La traccia è la seguente:
Sia $H$ una matrice ortogonale; si provi che le righe di $H$ costituiscono una base ortonormale di $RR^n$ (descritto per righe).
Non so da dove posso cominciare per la risoluzione dell'esercizio. Qualcuno può darmi una mano? Grazie in anticipo!
Risposte
Proposizione
Sia $ H $ una matrice ortogonale di ordine $ n $; allora le righe di $ H $, interpretate come vettori di $ \mathbb{R}^n $, costituiscono una base ortonormale di $ \mathbb{R}^n $.
Dimostrazione
Poiché $ H $ è ortogonale, $ ^tHH = I_n $.
Ora basta ricordare che, se $ A $ e $ B $ sono matrici moltiplicabili, allora $ AB = (A^{(i)}B_{(k)}) $, cioè il prodotto righe per colonne tra $ A $ e $ B $ è quella matrice $ AB $ il cui elemento di posto $ i,k $ corrisponde al prodotto tra l'$ i $-sima riga di $ A $ e la $ k $-sima colonna di $ B $.
Vediamo come applicare quest'idea all'identità mostrata all'inizio.
La scrittura $ ^tHH=I_n $ non dice nient'altro che l'$ i $-sima riga di $ ^tH $ è ortogonale alla $ k $-sima colonna di $ H $ (e quindi alla $ k $-sima riga di $ ^tH $) se $ i \ne k $ e che è un versore se $ i = k $ (per definizione di matrice trasposta, le righe di $ ^tH $ sono uguali alle colonne di $ H $). In formule:
$ ^tH^{(i)} \cdot H_{(k)} = \delta_{ik} $
dove $ \delta_{ik} $ è la delta di Kronecker.
Di conseguenza, le righe di $ ^tH $ (e quindi le colonne di $ H $) sono dei versori a due a due ortogonali e quindi costituiscono una base ortonormale di $ \mathbb{R}^n $.
A te il compito di completare la dimostrazione mostrando che il discorso è speculare per le righe di $ H $.
Sia $ H $ una matrice ortogonale di ordine $ n $; allora le righe di $ H $, interpretate come vettori di $ \mathbb{R}^n $, costituiscono una base ortonormale di $ \mathbb{R}^n $.
Dimostrazione
Poiché $ H $ è ortogonale, $ ^tHH = I_n $.
Ora basta ricordare che, se $ A $ e $ B $ sono matrici moltiplicabili, allora $ AB = (A^{(i)}B_{(k)}) $, cioè il prodotto righe per colonne tra $ A $ e $ B $ è quella matrice $ AB $ il cui elemento di posto $ i,k $ corrisponde al prodotto tra l'$ i $-sima riga di $ A $ e la $ k $-sima colonna di $ B $.
Vediamo come applicare quest'idea all'identità mostrata all'inizio.
La scrittura $ ^tHH=I_n $ non dice nient'altro che l'$ i $-sima riga di $ ^tH $ è ortogonale alla $ k $-sima colonna di $ H $ (e quindi alla $ k $-sima riga di $ ^tH $) se $ i \ne k $ e che è un versore se $ i = k $ (per definizione di matrice trasposta, le righe di $ ^tH $ sono uguali alle colonne di $ H $). In formule:
$ ^tH^{(i)} \cdot H_{(k)} = \delta_{ik} $
dove $ \delta_{ik} $ è la delta di Kronecker.
Di conseguenza, le righe di $ ^tH $ (e quindi le colonne di $ H $) sono dei versori a due a due ortogonali e quindi costituiscono una base ortonormale di $ \mathbb{R}^n $.
A te il compito di completare la dimostrazione mostrando che il discorso è speculare per le righe di $ H $.
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