Esercizio su matrici
Il testo dell'esercizio è questo:
Sia $B$ una matrice antisimmetrica, cioè $B^t=-B$ e $I$ la matrice identità.
Posto $A=(I+B)(I-B)^(-1)$, si dimostri che $A^(-1)=A^t$.
Applicando la regole di trasposizione e inversione per il prodotto di matrici riesco ad arrivare ad $ (A A^t)(A A^t)=I $.
Non riesco a terminare la dimostrazione. Qualche idea??
Sia $B$ una matrice antisimmetrica, cioè $B^t=-B$ e $I$ la matrice identità.
Posto $A=(I+B)(I-B)^(-1)$, si dimostri che $A^(-1)=A^t$.
Applicando la regole di trasposizione e inversione per il prodotto di matrici riesco ad arrivare ad $ (A A^t)(A A^t)=I $.
Non riesco a terminare la dimostrazione. Qualche idea??
Risposte
Secondo mi si tratta solo di calcolare AA^t. Non dovrebbe essere difficile mostrare che vale I.
La trasposizione è un antimorfismo di algebre, cioè è lineare e vale che \((XY)^t = Y^t X^t\), quindi $A^t = (I-B)^{-t}(I+B)^t = (I-B)^{-t}(I-B)$; ora da un lato
\[ AA^t = (I+B)(I-B)^{-1}(I-B)^{-t}(I-B) = (I+B)(I-B)^{-t}(I-B)^{-1}(I-B) = I\]
e dall'altro similmente
\[A^tA=(I-B)^{-t}(I-B)(I+B)(I-B)^{-1} = I\]
Il punto è che la sottoalgebra di $M_n(K)$ generata da $B$ è commutativa, e $B$ è antisimmetrica.
\[ AA^t = (I+B)(I-B)^{-1}(I-B)^{-t}(I-B) = (I+B)(I-B)^{-t}(I-B)^{-1}(I-B) = I\]
e dall'altro similmente
\[A^tA=(I-B)^{-t}(I-B)(I+B)(I-B)^{-1} = I\]
Il punto è che la sottoalgebra di $M_n(K)$ generata da $B$ è commutativa, e $B$ è antisimmetrica.
$A^(-1)=[(I+B)(I-B)^(-1)]^(-1)=(I-B)(I+B)^(-1)=(I+B^T)(I-B^T)^(-1)=A^T$
"Bokonon":
$A^(-1)=[(I+B)(I-B)^(-1)]^(-1)=(I-B)(I+B)^(-1)=(I+B^T)(I-B^T)^(-1)=A^T$
Non capisco l'ultima uguaglianza $(I+B^T)(I-B^T)^(-1)=A^T$. Per me è sbagliata.
"fmnq":
\[ AA^t = (I+B)(I-B)^{-1}(I-B)^{-t}(I-B) = (I+B)(I-B)^{-t}(I-B)^{-1}(I-B) = I\]
Non capisco l'uguaglianza $(I-B)^(-1)(I-B)^(-t)=(I-B)^(-t)(I-B)^(-1)$. Se mi chiarisci questa equazione allora tutto il resto mi è chiaro.
Ho trovato un modo molto semplice.
$A=(I+B)(I-B)^(-1)$
$A^T=[(I+B)(I-B)^(-1)]^T=[(I-B)^(-1)]^T(I+B)^T=[(I-B)^T]^(-1)(I+B)^T=(I-B^T)^(-1)(I+B^T)=(I+B)^(-1)(I-B)$
Infatti $(I+-B^T)=(I+-B)^T$ dato che la diagonale non influisce sulla trasposizione.
E ovviamente $[M^(-1)]^T=[M^T]^(-1)$ per qualsiasi matrice invertibile.
Infine $(I+B)(I-B)=(I-B)(I+B)=I-B^2$ quindi commutano.
Quindi segue che , $A^TA=(I+B)^(-1)(I-B)(I+B)(I-B)^(-1)=(I+B)^(-1)(I+B)(I-B)(I-B)^(-1)=I$
Pertanto $A^T=A^(-1)$
$A=(I+B)(I-B)^(-1)$
$A^T=[(I+B)(I-B)^(-1)]^T=[(I-B)^(-1)]^T(I+B)^T=[(I-B)^T]^(-1)(I+B)^T=(I-B^T)^(-1)(I+B^T)=(I+B)^(-1)(I-B)$
Infatti $(I+-B^T)=(I+-B)^T$ dato che la diagonale non influisce sulla trasposizione.
E ovviamente $[M^(-1)]^T=[M^T]^(-1)$ per qualsiasi matrice invertibile.
Infine $(I+B)(I-B)=(I-B)(I+B)=I-B^2$ quindi commutano.
Quindi segue che , $A^TA=(I+B)^(-1)(I-B)(I+B)(I-B)^(-1)=(I+B)^(-1)(I+B)(I-B)(I-B)^(-1)=I$
Pertanto $A^T=A^(-1)$
"Bokonon":
Ho trovato un modo molto semplice.
$A=(I+B)(I-B)^(-1)$
$A^T=[(I+B)(I-B)^(-1)]^T=[(I-B)^(-1)]^T(I+B)^T=[(I-B)^T]^(-1)(I+B)^T=(I-B^T)^(-1)(I+B^T)=(I+B)^(-1)(I-B)$
Infatti $(I+-B^T)=(I+-B)^T$ dato che la diagonale non influisce sulla trasposizione.
E ovviamente $[M^(-1)]^T=[M^T]^(-1)$ per qualsiasi matrice invertibile.
Infine $(I+B)(I-B)=(I-B)(I+B)=I-B^2$ quindi commutano.
Quindi segue che , $A^TA=(I+B)^(-1)(I-B)(I+B)(I-B)^(-1)=(I+B)^(-1)(I+B)(I-B)(I-B)^(-1)=I$
Pertanto $A^T=A^(-1)$
Perfetto!!
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