Esercizio su matrice diagonalizzabile
Salve a tutti!
Stavo provando a svolgere un esercizio di algebra lineare la cui traccia è la seguente:
Sia $K$ un campo di caratteristica 2; si provi che $((\alpha, \beta),(\beta, \alpha))$ in $K^(2x2)$ è diagonalizzabile in $K$ se e solo se $\beta = 0$
Per prima cosa ho calcolato il polinomio caratteristico:
$det (A - \lambda I) = det ((\alpha - \lambda, \beta), (\beta, \alpha - \lambda)) = (\alpha - \lambda)^2 - \beta^2 = 0 $
Da cui si ricavano i seguenti autovalori:
$\lambda_1 = \alpha - \beta$ e $\lambda_2 = \alpha + \beta$
Se $\beta != 0 $, si hanno due radici distinte per cui la molteplicità algebrica $m.a. = 1$ per ciascun autovalore; sostituendo $\lambda_1 = \alpha - \beta$ nella matrice $((\alpha - \lambda, \beta), (\beta, \alpha - \lambda))$ ottengo:
$((-\beta, \beta), (\beta, -\beta))$
con rango uguale 1. Si ha dunque molteplicità geometrica $m.g. = 1$.
Sostituendo ora $\lambda_2 = \alpha + \beta$ si ottiene la matrice:
$((\beta, \beta), (\beta, \beta))$
con rango uguale a 1. Si ha, dunque, $m.g = 1$
Se $\beta = 0$ si ha che $\lambda_1 = lambda_2 = \alpha$ e $m.a. = 2$, si ottiene la matrice nulla e si ricava anche in questo caso $m.g. = 2$.
Io ho concluso che, nonostante la molteplicità algebrica coincida con quella geometrica, la matrice non è diagonalizzabile perché ci troviamo in un campo con caratteristica 1 e non 2 (come è il campo $K$). Se fossimo in $RR$ la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile.
Ho molti dubbi però che l'esercizio si svolga in questo modo; in particolare, ho dubbi riguardo al fatto che la matrice non sia diagonalizzabile in $K$.
Potete darmi una mano? Grazie a tutti in anticipo
Stavo provando a svolgere un esercizio di algebra lineare la cui traccia è la seguente:
Sia $K$ un campo di caratteristica 2; si provi che $((\alpha, \beta),(\beta, \alpha))$ in $K^(2x2)$ è diagonalizzabile in $K$ se e solo se $\beta = 0$
Per prima cosa ho calcolato il polinomio caratteristico:
$det (A - \lambda I) = det ((\alpha - \lambda, \beta), (\beta, \alpha - \lambda)) = (\alpha - \lambda)^2 - \beta^2 = 0 $
Da cui si ricavano i seguenti autovalori:
$\lambda_1 = \alpha - \beta$ e $\lambda_2 = \alpha + \beta$
Se $\beta != 0 $, si hanno due radici distinte per cui la molteplicità algebrica $m.a. = 1$ per ciascun autovalore; sostituendo $\lambda_1 = \alpha - \beta$ nella matrice $((\alpha - \lambda, \beta), (\beta, \alpha - \lambda))$ ottengo:
$((-\beta, \beta), (\beta, -\beta))$
con rango uguale 1. Si ha dunque molteplicità geometrica $m.g. = 1$.
Sostituendo ora $\lambda_2 = \alpha + \beta$ si ottiene la matrice:
$((\beta, \beta), (\beta, \beta))$
con rango uguale a 1. Si ha, dunque, $m.g = 1$
Se $\beta = 0$ si ha che $\lambda_1 = lambda_2 = \alpha$ e $m.a. = 2$, si ottiene la matrice nulla e si ricava anche in questo caso $m.g. = 2$.
Io ho concluso che, nonostante la molteplicità algebrica coincida con quella geometrica, la matrice non è diagonalizzabile perché ci troviamo in un campo con caratteristica 1 e non 2 (come è il campo $K$). Se fossimo in $RR$ la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile.
Ho molti dubbi però che l'esercizio si svolga in questo modo; in particolare, ho dubbi riguardo al fatto che la matrice non sia diagonalizzabile in $K$.
Potete darmi una mano? Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Il teorema della diagonalizzabilità dice:
una matrice \(A\) di dimensione \(nxn\) è diagonalizzabile se e solo se:
1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è \(n\)
2) le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.
conseguenza di ciò è che:
*per la tesi 1) il polinomio caratteristico se deve poter fattorizzare come prodotto di fattori di grado 1 e per ogni autovalore vale \(1\)$<=$ \(m.g.\) $<=$ \(m.a.\) $<=$ \(n\)
*se il polinomio caratteristico ha n radici distinte, \(A\) è diagonalizzabile
*se esiste un autovalore per il quale le molteplicità algebriche e geometriche non coincidono, \(A\) non è diagonalizzabile
*la forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale
non parla di matrici diagonalizzabili in campi particolari...quindi credo che valga il teorema anche sul tuo campo $K$ diverso da $RR$
una matrice \(A\) di dimensione \(nxn\) è diagonalizzabile se e solo se:
1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è \(n\)
2) le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.
conseguenza di ciò è che:
*per la tesi 1) il polinomio caratteristico se deve poter fattorizzare come prodotto di fattori di grado 1 e per ogni autovalore vale \(1\)$<=$ \(m.g.\) $<=$ \(m.a.\) $<=$ \(n\)
*se il polinomio caratteristico ha n radici distinte, \(A\) è diagonalizzabile
*se esiste un autovalore per il quale le molteplicità algebriche e geometriche non coincidono, \(A\) non è diagonalizzabile
*la forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale
non parla di matrici diagonalizzabili in campi particolari...quindi credo che valga il teorema anche sul tuo campo $K$ diverso da $RR$
Il problema sta nel fatto che la $m.a. = m.g. $ e la somma delle molteplicità algebriche è uguale a $n$ sia per $\beta != 0$ che per $\beta = 0$. Io, come da traccia, devo invece dimostrare che la matrice è diagonalizzabile solo per $\beta = 0$. Proprio per questo motivo mi chiedevo se non centrasse il fatto che ci troviamo in un campo $K$ di caratteristica 2...
Nessuno può aiutarmi? Non so proprio come proseguire...
"daniele91":
$((-\beta, \beta), (\beta, -\beta))$
con rango uguale 1. Si ha dunque molteplicità geometrica $m.g. = 1$.
io controllerei qui!!
Scusa Gaber, ma non è 1 il rango di quella matrice?
$2beta^2-2beta^2=?$ o sono io che interpreto male?
Scusa quanto pensi che sia il rango? Proprio perché il determinante della matrice è nullo si ha che il rango è uguale all'unità. Per il criterio dei minori, siccome il determinante della matrice 2x2 è nullo significa che il rango sarà minore di 2 e dunque sarà uguale all'unità dal momento che non si può parlare di rango nullo.
Prova a calcolarlo con l'algoritmo di gauss: è immediato osservare che riducendo la matrice si ha l'ultima riga nulla. Di conseguenza il rango è sempre 1...
Prova a calcolarlo con l'algoritmo di gauss: è immediato osservare che riducendo la matrice si ha l'ultima riga nulla. Di conseguenza il rango è sempre 1...
Qualcuno può aiutarmi?
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