Esercizio su matrice diagonalizzabile.
Ciao a tutti, ho il seguente problema di cui non capico un passaggio, spero possate spiegarmi il procedimento.
Dire se la seguente matrice eè diagonalizzabile: $((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))$
Il polinomio caratteristico è $det((-4-lambda,-6,0),(3,5-lambda,0),(-5,-11,-1-lambda))=(-1-lambda)[(-4-lambda)(5-lambda)+18]=(-1-lambda)(lambda^2-lambda-2)$
Gi autovettori della matrice coincidono con gli zeri del polinomio caratteristico, ossia $lambda=2$ con molteplicità uno e $lambda=-1$ con molteplicità 2.
1. Gli autovettori corrispondenti all'autovalore $lambda=2$ sono i vettori tali che$((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))*((x),(y),(z))=2*((x),(y),(z))$ ossia le soluzioni del sistema $\{(-6x-6y=0),(3x+3y=0),(-5x-11y-3z=0):}$ che sono $(alpha,-alpha,2alpha)$ quindi l'autovettore linearmente indipendente è $(1,-1,2)$
2. Gli autovettori corrispondenti all'autovalore $lambda=-1$ sono i vettori tali che$((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))*((x),(y),(z))=-1*((x),(y),(z))$ ossia le soluzioni del sistema $\{(-3x-6y=0),(3x+6y=0),(-5x-11y=0):}$ che sono $(0,0,alpha)$ quindi l'autovettore linearmente indipendente è $(0,0,1)$
essendo solo due i vett. linearm. indipendenti e non tre, la matrice non è diagonalizzabile.
Ecco non capisco come escono fuori dai due sistemi su detti $\{(-6x-6y=0),(3x+3y=0),(-5x-11y-3z=0):}$ e $\{(-3x-6y=0),(3x+6y=0),(-5x-11y=0):}$ i valori $(alpha,-alpha,2alpha)$ e $(0,0,alpha)$
Dire se la seguente matrice eè diagonalizzabile: $((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))$
Il polinomio caratteristico è $det((-4-lambda,-6,0),(3,5-lambda,0),(-5,-11,-1-lambda))=(-1-lambda)[(-4-lambda)(5-lambda)+18]=(-1-lambda)(lambda^2-lambda-2)$
Gi autovettori della matrice coincidono con gli zeri del polinomio caratteristico, ossia $lambda=2$ con molteplicità uno e $lambda=-1$ con molteplicità 2.
1. Gli autovettori corrispondenti all'autovalore $lambda=2$ sono i vettori tali che$((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))*((x),(y),(z))=2*((x),(y),(z))$ ossia le soluzioni del sistema $\{(-6x-6y=0),(3x+3y=0),(-5x-11y-3z=0):}$ che sono $(alpha,-alpha,2alpha)$ quindi l'autovettore linearmente indipendente è $(1,-1,2)$
2. Gli autovettori corrispondenti all'autovalore $lambda=-1$ sono i vettori tali che$((-4,-6,0),(3,5,0),(-5,-11,-1))*((x),(y),(z))=-1*((x),(y),(z))$ ossia le soluzioni del sistema $\{(-3x-6y=0),(3x+6y=0),(-5x-11y=0):}$ che sono $(0,0,alpha)$ quindi l'autovettore linearmente indipendente è $(0,0,1)$
essendo solo due i vett. linearm. indipendenti e non tre, la matrice non è diagonalizzabile.
Ecco non capisco come escono fuori dai due sistemi su detti $\{(-6x-6y=0),(3x+3y=0),(-5x-11y-3z=0):}$ e $\{(-3x-6y=0),(3x+6y=0),(-5x-11y=0):}$ i valori $(alpha,-alpha,2alpha)$ e $(0,0,alpha)$
Risposte
Il primo sistema, tenuto conto che le prime due equazioni si riducono entrambe a $x+y=0$, è :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=0\\5x+11y+3z=0\end{cases} \)
Da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}y=-x\\-6x+3z=0\end{cases} \) ->\(\displaystyle \begin{cases}y=-x\\z=2x\end{cases} \)
Ponendo $x=alpha$, si ha :
\(\displaystyle \begin{cases}x=\alpha\\y=-\alpha\\z=2 \alpha\end{cases} \)
Analogamente il secondo sistema diventa :
\(\displaystyle \begin{cases}x+2y=0\\5x+11y=0\end{cases} \)
la cui unica soluzione, rispetto alle incognite x,y, è:
\(\displaystyle \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \)
La terza incognita z non compare per niente nel sistema e quindi può prendere qualunque valore.
Ponendo $z=alpha$ si ottiene la soluzione richiesta:
\(\displaystyle \begin{cases}x=0\\y=0\\z= \alpha\end{cases} \)
C.V.D.
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=0\\5x+11y+3z=0\end{cases} \)
Da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}y=-x\\-6x+3z=0\end{cases} \) ->\(\displaystyle \begin{cases}y=-x\\z=2x\end{cases} \)
Ponendo $x=alpha$, si ha :
\(\displaystyle \begin{cases}x=\alpha\\y=-\alpha\\z=2 \alpha\end{cases} \)
Analogamente il secondo sistema diventa :
\(\displaystyle \begin{cases}x+2y=0\\5x+11y=0\end{cases} \)
la cui unica soluzione, rispetto alle incognite x,y, è:
\(\displaystyle \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \)
La terza incognita z non compare per niente nel sistema e quindi può prendere qualunque valore.
Ponendo $z=alpha$ si ottiene la soluzione richiesta:
\(\displaystyle \begin{cases}x=0\\y=0\\z= \alpha\end{cases} \)
C.V.D.
grazie mille molto chiaro.
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