Esercizio su matrice di forma quadratica
Ciao, ho un dubbio su gli ultimi 2 quesiti che l'esercizio mi chiede.
Data la matrice A = $ ( ( 1 , -2 , 0 ),( -2 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $ , sia inoltre Q : R^3 -> R la forma quadratica Q $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = Q(X) = XAX(trasposta).
a) determina autovalori e molteplicità
Autovalori : 0 con u=m=1 ; 5 con u=m=2; (u è molteplicità algebrica, m è molteplicità geometrica)
b) segno di q?
Semidifinita positiva avendo autovalori maggiori e uguali a zero.
c) determinare matrice ortogonale N per il cambio di variabile X = XN' che consente di scrivere la forma quadratica in forma canonica, indicando esplicitamente la forma canonica
d)Determinare esplicitamente un vettore non nullo Xo tale che q(X)= 0, SE ESISTE
Come trovo la matrice ortogonale N per il cambio variabile nel punto c?
Grazie e a presto.
Data la matrice A = $ ( ( 1 , -2 , 0 ),( -2 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $ , sia inoltre Q : R^3 -> R la forma quadratica Q $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = Q(X) = XAX(trasposta).
a) determina autovalori e molteplicità
Autovalori : 0 con u=m=1 ; 5 con u=m=2; (u è molteplicità algebrica, m è molteplicità geometrica)
b) segno di q?
Semidifinita positiva avendo autovalori maggiori e uguali a zero.
c) determinare matrice ortogonale N per il cambio di variabile X = XN' che consente di scrivere la forma quadratica in forma canonica, indicando esplicitamente la forma canonica
d)Determinare esplicitamente un vettore non nullo Xo tale che q(X)= 0, SE ESISTE
Come trovo la matrice ortogonale N per il cambio variabile nel punto c?
Grazie e a presto.
Risposte
Non so perchè, chi ha scritto il problema, ragioni per vettori riga, ma io preferisco che siano vettori colonna (e in minuscolo). Pertanto $Q[x]=x^TAx$ (1)
A è una matrice simmetrica, pertanto per il Teorema Spettrale esiste una matrice Q ortogonale per cui $A=QLambdaQ^T$ (dove $Lambda$ è una matrice diagonale congruente e pure simile ad $A$, ovvero la forma canonica di A).
Sostituendo nella (1), abbiamo che $Q[X]=x^TQLambdaQ^Tx=(Q^Tx)^TLambda(Q^Tx)=yLambday^T$ dove $y=Q^Tx$
Quindi la matrice ortogonale che cerchi è .....?
$Q[x]=0$ quando $x$ appartiene al radicale di A, ovvero il kernel di A. Quindi tutti i vettori di quale span soddisfano la richiesta?
A è una matrice simmetrica, pertanto per il Teorema Spettrale esiste una matrice Q ortogonale per cui $A=QLambdaQ^T$ (dove $Lambda$ è una matrice diagonale congruente e pure simile ad $A$, ovvero la forma canonica di A).
Sostituendo nella (1), abbiamo che $Q[X]=x^TQLambdaQ^Tx=(Q^Tx)^TLambda(Q^Tx)=yLambday^T$ dove $y=Q^Tx$
Quindi la matrice ortogonale che cerchi è .....?
$Q[x]=0$ quando $x$ appartiene al radicale di A, ovvero il kernel di A. Quindi tutti i vettori di quale span soddisfano la richiesta?
Grazie per la spiegazione, finalmente ho capito
Dopo aver trovato la matrice ortogonale Q dagli autosoazi degli autovettori ho $ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Normalizzo e ho la matrice che chiedeva l'esercizio
$ ( ( 2/sqrt(5) , 1/sqrt(5) , 0 ),( 1/sqrt(5) , -2/sqrt(5) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Per l'ultima richiesta prendo un qualsiasi vettore del Kernel di A, ovvero $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Dopo aver trovato la matrice ortogonale Q dagli autosoazi degli autovettori ho $ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Normalizzo e ho la matrice che chiedeva l'esercizio
$ ( ( 2/sqrt(5) , 1/sqrt(5) , 0 ),( 1/sqrt(5) , -2/sqrt(5) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Per l'ultima richiesta prendo un qualsiasi vettore del Kernel di A, ovvero $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Se hai fatto bene i conti, è corretto
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