Esercizio su intersezione
Sia [tex]V = M_{2,2}(\mathbb{R})[/tex] e [tex]U, W \subseteq V[/tex] tali che:
[tex]U = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right)[/tex]
[tex]W = \left\{ A = (a_{ij}) \in V \mbox{ tale che } a_{11} + a_{22} = a_{12} + a_{21}\right\}[/tex]
Trovare una base di [tex]U \cap W[/tex].
---
Mi sono trovato una base di W, cioè:
[tex]W = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right)[/tex]
La mia idea è che una base di [tex]U \cap W[/tex] deve essere fatta così:
[tex]\exists a_{i} \in \mathbb{R} \qquad \mbox{tali che } 1 \le i \le 5 \mbox{ tali che:}[/tex]
[tex]a_{1}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix} + a_{2}\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right = a_{3}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix} + a_{4}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + a_{5}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right[/tex]
Giusto?
Cioè devono esistere 5 numeri reali tali che si verifica quella condizione là... Ma cosa ci faccio?
[tex]U = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right)[/tex]
[tex]W = \left\{ A = (a_{ij}) \in V \mbox{ tale che } a_{11} + a_{22} = a_{12} + a_{21}\right\}[/tex]
Trovare una base di [tex]U \cap W[/tex].
---
Mi sono trovato una base di W, cioè:
[tex]W = \mbox{Span}\left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right)[/tex]
La mia idea è che una base di [tex]U \cap W[/tex] deve essere fatta così:
[tex]\exists a_{i} \in \mathbb{R} \qquad \mbox{tali che } 1 \le i \le 5 \mbox{ tali che:}[/tex]
[tex]a_{1}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix} + a_{2}\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right = a_{3}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix} + a_{4}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + a_{5}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right[/tex]
Giusto?
Cioè devono esistere 5 numeri reali tali che si verifica quella condizione là... Ma cosa ci faccio?
Risposte
io subito ho pensato alle dimensioni degli spazi $U,W$ e mi risulta:
$dim(U)=2$
$dim(W)=3$
$dim(U nn W)<=2$
Inoltre (perdonami se tralascio tutti i calcoli, magari domani
)..
cerco tutte le matrici che rispondono al requisito $a+d=b+c$ e tali che siano composizione delle 2 matrici della base di U, e sorpresa, la matrice risultante è:
$ ( ( k , 5k ),( k , 5k ) ) $
Qundi lo spazio intersezione ha dimensioni 1, e la base è:
$ ( ( 1 , 5 ),( 1 , 5 ) ) $
controllare per sicurezza, ma sono abbastanza sicuro...
$dim(U)=2$
$dim(W)=3$
$dim(U nn W)<=2$
Inoltre (perdonami se tralascio tutti i calcoli, magari domani
)..cerco tutte le matrici che rispondono al requisito $a+d=b+c$ e tali che siano composizione delle 2 matrici della base di U, e sorpresa, la matrice risultante è:
$ ( ( k , 5k ),( k , 5k ) ) $
Qundi lo spazio intersezione ha dimensioni 1, e la base è:
$ ( ( 1 , 5 ),( 1 , 5 ) ) $
controllare per sicurezza, ma sono abbastanza sicuro...
Ma io non ho capito proprio quei conti... cioè, da dove escono?
Premesso che la mia soluzione sia corretta, ho posto una matrice generica M t.c
$ M in U nn W $
Quindi M è del tipo $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $
Inoltre, dato che è elemento di W, a+d=b+c
ed essendo elemento di U esistono due numeri reali k e h tali che:
$ ( ( a , b ),( c , d ) )= k * ( ( 1 , -1 ),( 0 , 2 ) ) + h*( ( -1 , 3 ),( 1 , 1 ) ) $
risolvendo un paio di sistemi si arriva alla conclusione..
$ M in U nn W $
Quindi M è del tipo $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $
Inoltre, dato che è elemento di W, a+d=b+c
ed essendo elemento di U esistono due numeri reali k e h tali che:
$ ( ( a , b ),( c , d ) )= k * ( ( 1 , -1 ),( 0 , 2 ) ) + h*( ( -1 , 3 ),( 1 , 1 ) ) $
risolvendo un paio di sistemi si arriva alla conclusione..
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