Esercizio su iniettività e suriettività

[bitmap-votailprof]

Altro esercizio sul quale chiedo qualche consiglio.....

T:R2-->R3 applicsazione lineare definita da :

T(e1)= 2e1 + 2Ke2 +K^2e3
T(e2)= -e1 -Ke2 + (K + 4)e3

Per quali valori di K T è iniettiva? e suriettiva?

Matrice associata alla trasformazione:

( 2 -1)
(2k -k)
(K^2 K+4) =A

Prima di tutto controllo se le colonne di A sono linearmente indipendenti ---> Iniettiva

Mi viene fuori che se K è diverso da (1+- radice 17)/2 (scusate ma non sapevo come altro scriverlo) la funzione è iniettiva.

Ora per sapere quando è suriettiva come faccio?

[miuemia]

beh guarda bene le dimensioni vai da $RR^2$ a $RR^3$...potrà mai essere suriettiva????

[bitmap-votailprof]

Si in effetti hai ragione......

[adaBTTLS1]

"miuemia":beh guarda bene le dimensioni vai da $RR^2$ a $RR^3$...potrà mai essere suriettiva????

scusate, non vorrei dire una sciocchezza, ma mi pare che si parli di applicazioni da $RR^2$ ad $RR^3$, senza particolari riferimenti alle dimensioni...
i due spazi, insiemisticamente, hanno la stessa cardinalità. allora perché non può esistere un'applicazione suriettiva da $RR^2$ ad $RR^3$?

[miuemia]

guarda bene! ha scritto LINEARI!!

[adaBTTLS1]

in effetti dovevo averlo letto di sfuggita. grazie per avermelo fatto notare. ciao.

[kamal1]

l'applicazione non puo essere mai suriettiva, infatti la matrice associata di T e di ordine (3,2) quindi rang(T)<=2 pero affinche T sia suriettiva bisogna avere
im(T)=R3 quindi rang(T)=dimR3=3.
per l'iniettivita basta calcolare il Ker.
se Ker(T)={0} allora T è iniettiva