Esercizio su immagine di una matrice di trasformazione

[Sandsky90]

Ciao a tutti vi posto il seguente esercizio sperando il qualche suggerimento allora:
Sia $A=[[k,k+1],[k+1,4],[2k+1,-4k]]$ la matrice di trasformazione di un applicazione lineare. Stabilire per quali valori di k il vettore (1,2k,k) appartiene all'immagine della trasformazione.

Io ho fatto così sapendo che la trasformazione è fatta così: $[[k,k+1],[k+1,4],[2k+1,-4k]]*[[x],[y]]=[[1],[2k],[k]]$ ho riscritto il tutto sotto forma di sistema ma mi viene un sistema in tre incognite non lineare, il che mi fa pensare di essere in errore. Suggerimenti?
SAluti Andrea

[cirasa]

Non serve determinare le soluzioni del sistema (e quindi risolverlo). E' sufficiente capire se ne esistono o no, ovvero se il sistema è compatibile o meno.
Prova a ricordare qualche teorema che garantisce la compatibilità o meno di un sistema...
Se non ti viene in mente nessuna idea, chiedi pure.

[Sandsky90]

Si forse il teorema di Rouchè-Capelli. In pratica devo verificare che il vettore (1,2k,k) sia combinazione lineare degli altri due giusto? Quindi potrei calcolare il determinante della matrice orlata e verificare per quali valori di k sia uguale a 0. O sbaglio?

[cirasa]

In sostanza sì, devi fare così.
Naturalmente dovresti calcolare anche il rango della matrice dei coefficienti (cioè la matrice $A$), per applicare nel modo giusto il teorema di Rouchè-Capelli.
Devi trovare i valori di $k$ per cui il rango della matrice dei coefficienti $A$ è uguale al rango della matrice completa, ovvero i valori di $k$ per cui il sistema è compatibile.