Esercizio su generatori e basi
Si stabilisca per quali valori di k i vettori di \(\displaystyle \Re ^3 \) \(\displaystyle v=(k-1,2,3) , w=(0,-1,0)\) e \(\displaystyle z=(0,0,5) \)
a) sono generatori di \(\displaystyle \Re ^3 \);
b) formano una base di \(\displaystyle \Re ^3 \);
c) sono linearmente dipendenti;
per il punto c) pensavo di calcolare il determinante della matrice contenente i tre vettori e vedere quando il rango è inferiore o uguale a 3.
per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri.
per il punto b) praticamente farei lo stesso ragionamento del punto c).
Tuttavia questo abbozzo di ragionamento sembra sconnesso e privo di una logica e volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.
Grazie in anticipo a tutti.
a) sono generatori di \(\displaystyle \Re ^3 \);
b) formano una base di \(\displaystyle \Re ^3 \);
c) sono linearmente dipendenti;
per il punto c) pensavo di calcolare il determinante della matrice contenente i tre vettori e vedere quando il rango è inferiore o uguale a 3.
per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri.
per il punto b) praticamente farei lo stesso ragionamento del punto c).
Tuttavia questo abbozzo di ragionamento sembra sconnesso e privo di una logica e volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
"Rhypireor":
volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.
Sapere le definizioni?
Per il punto a), ad occhio direi che la domanda fosse sono un insieme di generatori $inRR^3$
Cos'è un insieme di generatori?
"Sergio":
Ti si chiede se quei tre vettori possono generare tutto $\mathbb{R}^3$.
Io penso di no.
Pensa all'esercizio e al fatto che è stato riportato per quanto capito (un classico).
Se l'esercizio mira a vedere se lo studente abbia compreso i concetti, allora:
a) mira a vedere se ha capito la differenza fra generatori e base
b) a capire se sa derivare una base
c) se sa invertire il ragionamento precedente
@Sergio
Se hai capito allora perchè per te la a) e la b) sono la medesima domanda?
Ripeto, chi non capisce nemmeno la domanda la riporta come l'ha capita.
Se hai capito allora perchè per te la a) e la b) sono la medesima domanda?
"Bokonon":
Per il punto a), ad occhio direi che la domanda fosse sono un insieme di generatori $inRR^3$
Ripeto, chi non capisce nemmeno la domanda la riporta come l'ha capita.
"arnett":
Mi sono un po' perso. @Bokonon perché ritieni indispensabile parlare di 'insieme' di generatori? Cioè, la a) messa così ti sembra mal formulata?
Per me è ok ma ho visto che poteva indurre in errore e l'ho parafrasata.
Infatti l'OP ha scritto:
"Rhypireor":
per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri.
E Sergio successivamente ha scritto:
"Sergio":
Avrei un'unica riserva e riguarda il punto a).
Ti si chiede se quei tre vettori possono generare tutto $\mathbb{R}^3$.
La risposta alla a) è che sono un sistema di generatori per qualsiasi valore k
Per $k=1$ non sono un sistema di generatori di $RR^3$ ...
"arnett":
Questi tre sono generatori se e solo se nessumo si esprime come c.l. degli altri.
Ah ok.
Effettivamente ho riportato la traccia per come era posta perchè in quel momento non mi era molto chiara, così ho abbozzato un minimo di ragionamento e volevo solo chiedere un parere sulla validità o meno dello stesso. Quindi direi che alla base di tutto c'è una persona che chiede perchè NON SA oppure SA POCO e ha dei dubbi, così con molta umiltà chiede aiuto.
Comunque grazie a tutti
Comunque grazie a tutti
No no ho capito perfettamente che le tre risposte erano tutte collegate in base al valore che k poteva assumere
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