Esercizio su forme quadratiche

[ladepie]

Scrivere in forma canonica la seguente forma quadratica e trovare la matrice dei cambiamenti
di base effettuati per portarla in forma canonica:
$2x_1 ^2 - x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4$ definita su $R^4$ (mettere se possibile riferimenti di teoria)

[killa1]

Edit: non lasciamo tracce delle bestemmie che ho scritto

[killa1]

Ora sono io che non riesco a trovare gli autovalori di questa matrice

$((2,0,1/2),(0,0,1/2),(-1/2,1/2,0))$


Qualcuno può aiutarmi?

[dissonance]

Guarda che stai svolgendo un esercizio diverso da quello richiesto da ladepie.
(A proposito, @ladepie: ti ricordo di leggere il regolamento, specialmente il punto 1.4 ma anche 1.2 e 1.3. Ed è la seconda volta che te lo faccio notare, o forse te ne sei dimenticato?)

L'esercizio richiedeva di portare una forma quadratica in forma canonica, presumibilmente la forma canonica del teorema di Sylvester; è un problema diverso dal classificare e mettere in forma canonica una conica, quello che stai facendo tu.

[killa1]

Allora, dal basso della mia ignoranza ti chiedo, che cambia? Il nostro professore lo fa così...o meglio, ha fatto un solo esempio così, in aula, qualcosa tipo l'ultimo giorno di lezione...

[cirasa]

Una forma quadratica è, per sua definizione, dedotta da una forma bilineare simmetrica. Essa è, dal teorema di Sylvester, diagonalizzabile, ovvero esiste una base $(v_1,...,v_n)$ dello spazio (ho supposto che lo spazio sia reale di dimensione $n$, in questo caso è $RR^4$) tale che per ogni vettore $v$ la forma quadratica è nella forma
(*) $q(v)=(x_1)^2+...+(x_p)^2-(x_{p+1})^2-...-(x_r)^2$
dove $r$ è il rango della forma bilineare, $(p,r-p)$ è la segnatura e $(x_1,...,x_n)$ è la $n$-upla delle componenti di $v$ rispetto alla base $(v_1,...,v_n)$.
Scrivere la forma quadratica nella forma (*) significa appunto portarla in forma canonica e corrisponde a trovare una base siffatta.
Il problema, come ha fatto notare dissonance, è naturalmente ben diverso dal trovare la forma canonica della conica.

[killa1]

Ah ok ora ho capito! Scusate mi ero confusa
Grazie della spiegazione =)