Esercizio su forma quadratica
Ciao a tutti, volevo chiedere un aiuto per risolvere questo esercizio.
Data la forma quadratica g:$RR$ $rarr$ $RR^3$ definita da g($x_1$ , $x_2$ , $x_3$)=3$x_1^2$ +2$x_1$ $x_2$ -10$x_1$ $x_3$ -4$x_2$ $x_3$+ 8$x_3^2$ :
1. Si scriva la matrice simmetrica A che rappresenta g rispetto alla base canonica di $RR^3$ .
2. Si scriva la matrice simmetrica B che rappresenta g rispetto alla base $\beta$ = ((1,0,1),(0,1,0),(2,0,1)).
3. Si determinino gli indici di positività, negatività e nullità della forma.
Per quanto riguarda il punto 1, credo di aver trovato la matrice A come:
A = $((3,5,1),(5,0,4),(1,4,8))$
Per il punto 2 avevo provato a calcolare i coefficienti in questo modo:
$\beta$ = ($u_1$ , $u_2$ , $u_3$)
g($u_1$ , $u_1$) = 3-10+8=1
g($u_1$ , $u_2$) = 3+2-10-4+8=-1
g($u_1$ , $u_3$) = 12-20+8=0
...e così via per tutte le combinazioni di vettori, arrivando poi alla matrice:
B = $((1,-1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$
Solo che come metodo non mi sembra così giusto
.
Per il punto 3 invece non so proprio come procedere
Grazie mille per qualsiasi aiuto
Data la forma quadratica g:$RR$ $rarr$ $RR^3$ definita da g($x_1$ , $x_2$ , $x_3$)=3$x_1^2$ +2$x_1$ $x_2$ -10$x_1$ $x_3$ -4$x_2$ $x_3$+ 8$x_3^2$ :
1. Si scriva la matrice simmetrica A che rappresenta g rispetto alla base canonica di $RR^3$ .
2. Si scriva la matrice simmetrica B che rappresenta g rispetto alla base $\beta$ = ((1,0,1),(0,1,0),(2,0,1)).
3. Si determinino gli indici di positività, negatività e nullità della forma.
Per quanto riguarda il punto 1, credo di aver trovato la matrice A come:
A = $((3,5,1),(5,0,4),(1,4,8))$
Per il punto 2 avevo provato a calcolare i coefficienti in questo modo:
$\beta$ = ($u_1$ , $u_2$ , $u_3$)
g($u_1$ , $u_1$) = 3-10+8=1
g($u_1$ , $u_2$) = 3+2-10-4+8=-1
g($u_1$ , $u_3$) = 12-20+8=0
...e così via per tutte le combinazioni di vettori, arrivando poi alla matrice:
B = $((1,-1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$
Solo che come metodo non mi sembra così giusto
.Per il punto 3 invece non so proprio come procedere
Grazie mille per qualsiasi aiuto
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum.
$g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, immagino sia errore di battitura.
Hai la definizione di $g$ in termini della base standard, quindi puoi leggere la matrice associata ad essa nei coefficienti dei termini quadratici, però dovrebbe essere
$A = ((3,1,-5),(1,0,-2),(-5,-2,8))$
$g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, quindi come fai a passargli due argomenti di $\mathbb{R}^3$?
Dovresti ricavare la forma bilineare simmetrica associata alla quadratica usando la formula $\phi(x, y) = \frac{1}{2}(g(x+y) - g(x) - g(y))$ e poi fare quei conti.
Un metodo più veloce però consiste nell'usare la matrice del cambiamento di base per trovare la relazione tra le due matrici, ti invito a farlo
Viene richiesto essenzialmente di ricavare la segnatura della forma quadratica, sai farlo? In genere si trova il polinomio caratteristico della matrice e si usa la regola dei segni di Cartesio per determinare gli autovalori nulli, quelli positivi e quelli negativi che poi ti permettono di ricavare la segnatura, basandosi sul teorema di Sylvester.
Data la forma quadratica g:$RR$ $rarr$ $RR^3$
$g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, immagino sia errore di battitura.
Per quanto riguarda il punto 1, credo di aver trovato la matrice A come:
A = $((3,5,1),(5,0,4),(1,4,8))$
Hai la definizione di $g$ in termini della base standard, quindi puoi leggere la matrice associata ad essa nei coefficienti dei termini quadratici, però dovrebbe essere
$A = ((3,1,-5),(1,0,-2),(-5,-2,8))$
Per il punto 2 avevo provato a calcolare i coefficienti in questo modo:
$\beta$ = ($u_1$ , $u_2$ , $u_3$)
g($u_1$ , $u_1$) = 3-10+8=1
g($u_1$ , $u_2$) = 3+2-10-4+8=-1
g($u_1$ , $u_3$) = 12-20+8=0
...e così via per tutte le combinazioni di vettori, arrivando poi alla matrice:
B = $((1,-1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$
$g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, quindi come fai a passargli due argomenti di $\mathbb{R}^3$?
Dovresti ricavare la forma bilineare simmetrica associata alla quadratica usando la formula $\phi(x, y) = \frac{1}{2}(g(x+y) - g(x) - g(y))$ e poi fare quei conti.
Un metodo più veloce però consiste nell'usare la matrice del cambiamento di base per trovare la relazione tra le due matrici, ti invito a farlo
Per il punto 3 invece non so proprio come procedere
Viene richiesto essenzialmente di ricavare la segnatura della forma quadratica, sai farlo? In genere si trova il polinomio caratteristico della matrice e si usa la regola dei segni di Cartesio per determinare gli autovalori nulli, quelli positivi e quelli negativi che poi ti permettono di ricavare la segnatura, basandosi sul teorema di Sylvester.
Primo punto perfetto e chiarissimo così, sbagliavo l'ordine dei complementi 
Potresti darmi una mano con la formula ? Ho provato a cercare, ma non so cosa cercare. Che formula è ? Non capisco chi sono $x_$ e $y_$ 
Riguardo il terzo punto, avevo pensato di fare la diagonalizzazione, ma mi venivano fuori autovalori allucinanti e speravo ci fosse un altro metodo. Ho provato a rifare i calcoli ma il risultato non cambia. Posto qui sotto ciò che ho provato a fare:
A= $ [ ( 3-lambda ,1,-5 ),(1 ,-lambda,-2),(-5,-2,8-lambda) ] $
con autovalori $\lambda$ = 0 , $\lambda$ = (11 $+-$ $sqrt(145)$)/2 , che sono tutti con molteplicità algebrica 1.
A questo punto devo procedere come se fosse un' applicazione lineare e andare a cercare la base spettrale per poi classificarla con Sylvester mi pare, ma con gli ultimi 2 mi viene un pò difficile
...fiduciosa in un'illuminazione
"vlander":
Dovresti ricavare la forma bilineare simmetrica associata alla quadratica usando la formula $\phi(x, y) = \frac{1}{2}(g(x+y) - g(x) - g(y))$ e poi fare quei conti.
Potresti darmi una mano con la formula ? Ho provato a cercare, ma non so cosa cercare. Che formula è ? Non capisco chi sono $x_$ e $y_$ Riguardo il terzo punto, avevo pensato di fare la diagonalizzazione, ma mi venivano fuori autovalori allucinanti e speravo ci fosse un altro metodo. Ho provato a rifare i calcoli ma il risultato non cambia. Posto qui sotto ciò che ho provato a fare:
A= $ [ ( 3-lambda ,1,-5 ),(1 ,-lambda,-2),(-5,-2,8-lambda) ] $
con autovalori $\lambda$ = 0 , $\lambda$ = (11 $+-$ $sqrt(145)$)/2 , che sono tutti con molteplicità algebrica 1.
A questo punto devo procedere come se fosse un' applicazione lineare e andare a cercare la base spettrale per poi classificarla con Sylvester mi pare, ma con gli ultimi 2 mi viene un pò difficile
...fiduciosa in un'illuminazione
Si tratta di una formula(presente nella maggior parte dei testi, suppongo) che vale per spazi vettoriali su campi $F$ di caratteristica diversa da due.
Se hai una forma bilineare simmetrica $\phi : V \times V \to F$ la forma quadratica associata è $Q: V \to F$ definita come $Q(v) = \phi(v, v)$.
Con $x$ e $y$ intendevo due vettori. Sfruttando la definizione della forma quadratica associata e la linearità / simmetria della forma hai che
$Q(x+y) = \phi(x+y, x+y) = \phi(x, x) + \phi(x, y) + \phi(y, x) + \phi(y, y) = Q(x) + Q(y) + 2 \phi(x, y)$
Ora siccome il campo ha caratteristica diversa da due puoi "dividere" per $2$ e ottenere
$$\phi(x, y) = \frac{1}{2}(Q(x+y) - Q(x) - Q(y))$$
$g(u_i, u_j)$ non ha senso perché $g$ è una forma quadratica, quel calcolo lo puoi fare solo con la forma bilineare simmetrica che puoi ricavare dalla forma quadratica. Ma di nuovo, in questo modo devi fare molti conti, la cosa più veloce è usare la matrice del cambiamento di base.
Per il terzo punto, non hai bisogno di calcolare esplicitamente gli autovalori.
Hai che il polinomio caratteristico della matrice è $p(x) = x(-x^2 + 11x + 6)$. Un'autovalore è $0$, poi $-x^2 + 11x + 6$ contiene una variazione di segno quindi per la regola dei segni di Cartesio hai una radice positiva e una negativa.
Il teorema di Sylvester dice che la segnatura non dipende dalla base, quindi rispetto la base di autovettori ortonormali(che esiste per il teorema spettrale reale e che non hai bisogno di cercare perché non ti serve) hai che la matrice è diagonale, quindi la segnatura la ricavi dal numero di autovalori positivi e dal numero di autovalori negativi, in questo caso è $(1,1)$.
Se hai una forma bilineare simmetrica $\phi : V \times V \to F$ la forma quadratica associata è $Q: V \to F$ definita come $Q(v) = \phi(v, v)$.
Con $x$ e $y$ intendevo due vettori. Sfruttando la definizione della forma quadratica associata e la linearità / simmetria della forma hai che
$Q(x+y) = \phi(x+y, x+y) = \phi(x, x) + \phi(x, y) + \phi(y, x) + \phi(y, y) = Q(x) + Q(y) + 2 \phi(x, y)$
Ora siccome il campo ha caratteristica diversa da due puoi "dividere" per $2$ e ottenere
$$\phi(x, y) = \frac{1}{2}(Q(x+y) - Q(x) - Q(y))$$
$g(u_i, u_j)$ non ha senso perché $g$ è una forma quadratica, quel calcolo lo puoi fare solo con la forma bilineare simmetrica che puoi ricavare dalla forma quadratica. Ma di nuovo, in questo modo devi fare molti conti, la cosa più veloce è usare la matrice del cambiamento di base.
Per il terzo punto, non hai bisogno di calcolare esplicitamente gli autovalori.
Hai che il polinomio caratteristico della matrice è $p(x) = x(-x^2 + 11x + 6)$. Un'autovalore è $0$, poi $-x^2 + 11x + 6$ contiene una variazione di segno quindi per la regola dei segni di Cartesio hai una radice positiva e una negativa.
Il teorema di Sylvester dice che la segnatura non dipende dalla base, quindi rispetto la base di autovettori ortonormali(che esiste per il teorema spettrale reale e che non hai bisogno di cercare perché non ti serve) hai che la matrice è diagonale, quindi la segnatura la ricavi dal numero di autovalori positivi e dal numero di autovalori negativi, in questo caso è $(1,1)$.
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